ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 479 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Два ученика 9 класса вместе расчистили школьный каток за $20 \, \text{мин}$. В следующий раз один из них расчистил $\frac{2}{3}$ площади катка, а после этого его сменил другой и закончил работу. При этом каток был расчищен за $40 \, \text{мин}$. За какое время может расчистить каток каждый из школьников, работая отдельно?

1) Пусть первый ученик может расчистить каток за $x \, \text{мин}$, а второй — за $y \, \text{мин}$, тогда:

$\frac{1}{x}$ — такую часть катка расчищает первый ученик за 1 минуту;

$\frac{1}{y}$ — такую часть катка расчищает второй ученик за 1 минуту;

$\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)$ — часть катка, которую они вместе расчищают за 1 минуту;

2) За 40 минут 1-ый ученик расчистил $\frac{2}{3}$ катка, а 2-ой — $\frac{1}{3}$ часть, значит:

$$\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y = 40;$$

3) Вместе они расчищают весь каток за 20 минут, значит:

$$\{\begin{array}{l}20(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=1\\ \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=40\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{20}{x}+\frac{20}{y}=1\\ 2x+y=120\end{array};$$

$$\begin{cases} 20 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \\ \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y = 40 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1 \\ 2x + y = 120 \end{cases};$$ $$\frac{20}{x}+\frac{20}{120-2x}-1=0\mathrm{\mid }\cdot x(120-2x);$$

$$\frac{20}{x} + \frac{20}{120 — 2x} — 1 = 0 \quad | \cdot x(120 — 2x);$$ $$20(120-2x)+20x-x(120-2x)=0;$$

$$20(120 — 2x) + 20x — x(120 — 2x) = 0;$$ $$2400-40x+20x-120x+2x^2=0;$$

$$2400 — 40x + 20x — 120x + 2x^2 = 0;$$ $$2x^2-140x+2400=0\mathrm{\mid }:2;$$

$$2x^2 — 140x + 2400 = 0 \quad | : 2;$$ $$x^2 — 70x + 1200 = 0;$$

$D = 70^2 — 4 \cdot 1200 = 4900 — 4800 = 100$, тогда:

$$x_1=\frac{70-10}{2}=30\text{и}{x}_2=\frac{70+10}{2}=40;$$

$$x_1 = \frac{70 — 10}{2} = 30 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{70 + 10}{2} = 40;$$ $$y_1 = 120 — 2 \cdot 30 = 60 \quad \text{и} \quad y_2 = 120 — 2 \cdot 40 = 40;$$

Ответ: за 30 мин первый и 60 мин второй или за 40 минут каждый.

Пусть первый ученик может расчистить каток за $x \, \text{мин}$, а второй — за $y \, \text{мин}$. Таким образом, каждый из учеников выполняет часть работы за одну минуту, которая равна обратной величине времени, которое он тратит на выполнение всей работы. То есть:

$\frac{1}{x}$ — это часть катка, которую первый ученик расчищает за 1 минуту. Это выражение показывает, какой процент работы выполняет первый ученик за одну минуту.

$\frac{1}{y}$ — это часть катка, которую второй ученик расчищает за 1 минуту. Аналогично, это выражение показывает процент работы, который выполняет второй ученик за одну минуту.

$\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)$ — это общая часть катка, которую они расчищают за 1 минуту, работая одновременно. Это просто сумма их скоростей (частей работы, которую каждый выполняет за 1 минуту).

За 40 минут 1-ый ученик расчистил $\frac{2}{3}$ катка, а второй — $\frac{1}{3}$ часть, значит:

$$\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y = 40.$$

Это уравнение отражает то, как каждый ученик вкладывается в общее время расчистки катка. За 40 минут первый ученик успел расчистить $\frac{2}{3}$ от всей площади катка, а второй — $\frac{1}{3}$ этой площади. Каждая из этих частей работы зависит от скорости работы каждого ученика, выраженной через $x$ и $y$.

Вместе они расчищают весь каток за 20 минут, значит:

$$\begin{cases} 20 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \\ \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y = 40 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1 \\ 2x + y = 120 \end{cases};$$

В первом уравнении показано, что за 20 минут они выполняют всю работу, то есть они выполняют 100% работы, а во втором уравнении — суммарная работа за 40 минут, разделенная на части, что отражает работу обоих учеников. Умножив на 20, мы получаем систему, которая легко решается для дальнейших шагов.

Теперь подставим $y = 120 — 2x$ из второго уравнения во первое:

$$\frac{20}{x} + \frac{20}{120 — 2x} — 1 = 0 \quad | \cdot x(120 — 2x);$$

Это уравнение позволяет избавиться от дробей, умножив обе стороны на $x(120 — 2x)$, что делает уравнение более удобным для решения.

Раскрываем скобки и упрощаем:

$$20(120 — 2x) + 20x — x(120 — 2x) = 0;$$

Это уравнение преобразуется в полиномиальное уравнение, которое можно решить, используя стандартные методы.

Упростим выражение:

$$2400 — 40x + 20x — 120x + 2x^2 = 0;$$

Теперь приведем все слагаемые к общему виду:

$$2x^2-140x+2400=0\mathrm{\mid }:2;$$

$$2x^2 — 140x + 2400 = 0 \quad | : 2;$$ $$x^2 — 70x + 1200 = 0;$$

Получаем квадратное уравнение, которое теперь можно решить с помощью дискриминанта.

Рассчитаем дискриминант $D$ для уравнения $x^2 — 70x + 1200 = 0$:

$$D = (-70)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1200 = 4900 — 4800 = 100.$$

Так как дискриминант $D = 100$ является полным квадратом, корни этого уравнения будут действительными. Находим их с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-(-70)-\sqrt{100}}{2\cdot 1}=\frac{70-10}{2}=\frac{60}{2}=30,$$

$$x_1 = \frac{-(-70) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{70 — 10}{2} = \frac{60}{2} = 30,$$ $$x_2 = \frac{-(-70) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{70 + 10}{2} = \frac{80}{2} = 40.$$

Теперь находим соответствующие значения $y$ для каждого из найденных значений $x$. Из уравнения $2x + y = 120$ подставляем значения $x_1 = 30$ и $x_2 = 40$:

Для $x_1 = 30$:

$$y_1 = 120 — 2 \cdot 30 = 60.$$

Для $x_2 = 40$:

$$y_2 = 120 — 2 \cdot 40 = 40.$$

Ответ: за 30 минут первый и 60 минут второй или за 40 минут каждый.