ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 478 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Два крана, открытые одновременно, могут наполнить водой детский бассейн за 20 мин. Если сначала на 25 мин открыть только первый кран, а затем его закрыть и открыть второй, то через 16 мин бассейн наполнится. За сколько минут может наполнить бассейн каждый кран в отдельности?

1) Пусть 1-ый кран наполняет бассейн за $x \, \text{мин}$, а 2-ой — за $y \, \text{мин}$, тогда:

$\frac{1}{x}$ — такую часть бассейна наполняет первый кран за 1 минуту;

$\frac{1}{y}$ — такую часть бассейна наполняет второй кран за 1 минуту;

$\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)$ — часть бассейна, которую они вместе наполняют за 1 минуту;

2) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 20 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \\ 25 \cdot \frac{1}{x} + 16 \cdot \frac{1}{y} = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1 \\ \frac{25}{x} + \frac{16}{y} = 1 \end{cases};$$

3) Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$, тогда:

$$\{\begin{array}{l}20a+20b=1\mathrm{\mid }\cdot 5\\ 25a+16b=1\mathrm{\mid }\cdot 4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}100a+100b=5\\ 100a+64b=4\end{array};$$

$$\begin{cases} 20a + 20b = 1 \quad | \cdot 5 \\ 25a + 16b = 1 \quad | \cdot 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 100a + 100b = 5 \\ 100a + 64b = 4 \end{cases};$$ $$100a-100a+100b-64b=5-4;$$

$$100a — 100a + 100b — 64b = 5 — 4;$$ $$36b=1,\text{отсюда }b=\frac{1}{36};$$

$$36b = 1, \quad \text{отсюда } b = \frac{1}{36};$$ $$20a + 20b = 1, \quad \text{отсюда } a = \frac{1}{20} — b = \frac{1}{20} — \frac{1}{36} = \frac{9 — 5}{180} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45};$$

4) Вернем замену:

$$\frac{1}{x}=\frac{1}{45},\text{отсюда }x=45(\text{мин});$$

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{45}, \quad \text{отсюда } x = 45 \, (\text{мин});$$ $$\frac{1}{y} = \frac{1}{36}, \quad \text{отсюда } y = 36 \, (\text{мин});$$

Ответ: первый кран за 45 минут, а второй за 36 минут.

Пусть 1-ый кран наполняет бассейн за $x \, \text{мин}$, а 2-ой — за $y \, \text{мин}$. Тогда:

$\frac{1}{x}$ — это часть бассейна, которую первый кран выполняет за 1 минуту. Каждый кран за 1 минуту выполняет часть задания, которая равна обратной величине его времени работы, то есть если $x$ — это количество минут, за которое первый кран выполняет всю работу, то за 1 минуту он выполняет $\frac{1}{x}$ работы. Это аналогично и для второго крана, который выполняет $\frac{1}{y}$ работы за 1 минуту, где $y$ — это время, которое кран тратит на выполнение задания.

$\frac{1}{y}$ — часть работы, которую второй кран выполняет за 1 минуту.

$\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)$ — это общая часть задания, которое они выполняют за 1 минуту, когда работают одновременно. Мы складываем их скорости работы, и таким образом, скорость их совместной работы равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 20 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \\ 25 \cdot \frac{1}{x} + 16 \cdot \frac{1}{y} = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{20}{x} + \frac{20}{y} = 1 \\ \frac{25}{x} + \frac{16}{y} = 1 \end{cases};$$

Составляем систему, которая выражает общую работу за 1 минуту, выполненную кранами. В первом уравнении совместная работа обоих кранов в 20 минутах равна выполнению 1 всей работы, во втором уравнении дана другая информация о времени работы каждого из кранов.

Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$, тогда подставим это в систему:

$$\begin{cases} 20a + 20b = 1 \quad | \cdot 5 \\ 25a + 16b = 1 \quad | \cdot 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 100a + 100b = 5 \\ 100a + 64b = 4 \end{cases};$$

Мы заменили $\frac{1}{x}$ на $a$ и $\frac{1}{y}$ на $b$, что позволяет упростить систему. Умножив обе стороны первого уравнения на 5, а второго — на 4, мы можем работать с более простыми коэффициентами. Получаем систему с двумя уравнениями и двумя неизвестными.

Теперь вычитаем одно уравнение из другого, чтобы избавиться от $a$:

$$100a — 100a + 100b — 64b = 5 — 4;$$ $$36b = 1, \quad \text{отсюда } b = \frac{1}{36};$$

Теперь у нас есть значение $b$, которое представляет собой $\frac{1}{y}$, то есть это обратное значение времени, которое тратит второй кран.

Подставим $b = \frac{1}{36}$ в первое уравнение системы:

$$20a + 20b = 1, \quad \text{отсюда } a = \frac{1}{20} — b = \frac{1}{20} — \frac{1}{36} = \frac{9 — 5}{180} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45};$$

Мы подставили значение $b$ в первое уравнение и нашли $a$, которое представляет собой $\frac{1}{x}$.

Теперь возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{45}, \quad \text{отсюда } x = 45 \, (\text{мин});$$ $$\frac{1}{y} = \frac{1}{36}, \quad \text{отсюда } y = 36 \, (\text{мин});$$

Мы получили значения $x = 45$ минут для первого крана и $y = 36$ минут для второго.

Ответ: первый кран за 45 минут, а второй за 36 минут.