ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 477 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите задачу 437 из пункта 3.4, составив систему уравнений.

1) Пусть Миша выполняет задание за $x \, \text{мин}$, а Коля — за $y \, \text{мин}$, тогда:

$\frac{1}{x}$ — такую часть задания выполняет Коля за 1 минуту;

$\frac{1}{y}$ — такую часть задания выполняет Миша за 1 минуту;

$\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)$ — часть задания, которую они вместе выполняют за 1 минуту;

2) Коля может выполнить задание на 6 минут быстрее Миши, значит: $x — y = 6$;

3) Вместе они выполняют все задание за 4 минуты, значит:

$$\begin{cases} x — y = 6 \\ 4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x — 6 \\ \frac{4}{x} + \frac{4}{y} — 1 = 0 \end{cases};$$ $$\frac{4}{x} + \frac{4}{x — 6} — 1 = 0 \quad | \cdot x(x — 6);$$

$4(x — 6) + 4x — x(x — 6) = 0$;

$$4x — 24 + 4x — x^2 + 6x = 0;$$ $$-x^2 + 14x — 24 = 0 \quad | \cdot (-1);$$ $$x^2 — 14x + 24 = 0;$$

$D = 14^2 — 4 \cdot 24 = 196 — 96 = 100$, тогда:

$$x_1 = \frac{14 — 10}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{14 + 10}{2} = 12;$$

6) Время выполнения задания не может быть отрицательным;

$x \neq 2$, так как в этом случае $x — 6 < 0$, значит $x = 12 \, (\text{мин})$;

Тогда $y = 12 — 6 = 6 \, (\text{мин})$;

Ответ: за 6 минут; за 12 минут.

Пусть Миша выполняет задание за $x \, \text{мин}$, а Коля — за $y \, \text{мин}$. Тогда мы знаем, что:

$\frac{1}{x}$ — это часть задания, которую Коля выполняет за 1 минуту. За каждую минуту Коля выполняет $\frac{1}{x}$ всей работы, где $x$ — это количество минут, которое Коля тратит на выполнение всего задания.

$\frac{1}{y}$ — это часть задания, которую Миша выполняет за 1 минуту. Миша выполняет $\frac{1}{y}$ части задания за одну минуту, где $y$ — это время, которое Миша тратит на выполнение всей работы.

$\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)$ — это общая часть задания, которую они выполняют за 1 минуту, когда работают вместе. Суммируя их скорости, получаем скорость их совместной работы, то есть, за 1 минуту они выполняют $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ всей работы.

Коля может выполнить задание на 6 минут быстрее Миши, значит: $x — y = 6$;

Это уравнение означает, что время, которое Миша тратит на выполнение задания, больше времени, которое тратит Коля, на 6 минут. То есть разница в их временах составляет 6 минут, что и записано в уравнении:

$$x — y = 6.$$

Вместе они выполняют все задание за 4 минуты, значит:

$$4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1.$$

Это уравнение выражает тот факт, что за 4 минуты они выполняют все задание. То есть их совместная работа за 4 минуты составляет 1 (вся работа). Если их совместная работа за 1 минуту равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$, то за 4 минуты эта сумма должна быть равна 1:

$$4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1.$$

Подставим $y = x — 6$ из первого уравнения во второе уравнение:

$$\frac{4}{x} + \frac{4}{x — 6} — 1 = 0.$$

Теперь умножим обе части на $x(x — 6)$, чтобы избавиться от дробей:

$$4(x — 6) + 4x — x(x — 6) = 0.$$

Раскроем скобки:

$$4(x — 6) + 4x — x(x — 6) = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x — 24 + 4x — x^2 + 6x = 0.$$

Теперь соберем все слагаемые на одной стороне уравнения:

$$4x — 24 + 4x — x^2 + 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 14x — 24 = 0.$$

Умножим обе стороны на $-1$ для упрощения уравнения:

$$x^2 — 14x + 24 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ рассчитывается по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Для уравнения $x^2 — 14x + 24 = 0$ значения $a = 1$, $b = -14$, $c = 24$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 — 96 = 100.$$

Так как дискриминант $D = 100$ является полным квадратом, мы можем найти корни этого уравнения. Корни вычисляются по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим значения $b = -14$, $D = 100$, и $a = 1$ в формулу:

$$x_1=\frac{-(-14)-\sqrt{100}}{2\cdot 1}=\frac{14-10}{2}=\frac{4}{2}=2,$$

$$x_1 = \frac{-(-14) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{14 — 10}{2} = \frac{4}{2} = 2,$$ $$x_2 = \frac{-(-14) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12.$$

Время выполнения задания не может быть отрицательным, поэтому $x \neq 2$, так как в этом случае $x — 6 < 0$, что является невозможным. Следовательно, $x = 12 \, (\text{мин})$.

Теперь, подставим $x = 12$ в уравнение $y = x — 6$:

$$y = 12 — 6 = 6 \, (\text{мин}).$$

Ответ: за 6 минут; за 12 минут.