ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 476 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Можно ли в круг радиуса $12.5 \, \text{см}$ вписать прямоугольник, площадь которого $168 \, \text{см}^2$?

1) Пусть одна сторона прямоугольника равна $x \, \text{см}$, а другая — $y \, \text{см}$;

2) Все углы прямоугольника прямые, значит они опираются на диаметр описанной около него окружности, отсюда следует, что диагональ этого прямоугольника является диаметром данной окружности;

3) Радиус круга равен $12.5 \, \text{см}$, значит его диаметр составляет $25 \, \text{см}$;

4) Диагональ прямоугольника равна $25 \, \text{см}$, значит: $x^2 + y^2 = 625$;

5) Площадь прямоугольника равна $168 \, \text{см}^2$, значит: $xy = 168$;

6) Составим и решим систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}xy=168\\ x^2+y^2=625\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=\frac{168}{x}\\ x^2+y^2-625=0\end{array};$$

$$\begin{cases} xy = 168 \\ x^2 + y^2 = 625 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \frac{168}{x} \\ x^2 + y^2 — 625 = 0 \end{cases};$$ $$x^2+{\left(\frac{168}{x}\right)}^2-625=0;$$

$$x^2 + \left( \frac{168}{x} \right)^2 — 625 = 0;$$ $$x^2+\frac{{168}^2}{x^2}-625=0\mathrm{\mid }\cdot x^2;$$

$$x^2 + \frac{168^2}{x^2} — 625 = 0 \quad | \cdot x^2;$$ $$x^4 + 28224 — 625x^2 = 0;$$

7) Пусть $a = x^2$, тогда:

$$a^2-625a+28224=0;$$

$$a^2 — 625a + 28224 = 0;$$ $$D = 625^2 — 4 \cdot 28224 = 390625 — 112896 = 277729 = 527^2,$$

тогда:

$$a_1 = \frac{625 — 527}{2} = \frac{98}{2} = 49 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{625 + 527}{2} = \frac{1152}{2} = 576;$$

8) Вернем замену $x = \sqrt{a}$:

$$x_1=\sqrt{49}=7\text{и}{x}_2=\sqrt{576}=24;$$

$$x_1 = \sqrt{49} = 7 \quad \text{и} \quad x_2 = \sqrt{576} = 24;$$ $$y_1 = \frac{168}{7} = 24 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{168}{24} = 7;$$

Ответ: можно вписать прямоугольник со сторонами $7 \, \text{см}$ и $24 \, \text{см}$.

Пусть одна сторона площадки равна $x$ м, а другая — $y$ м. Тогда после перестановки стало $(x + 2)$ рядов и $(y + 2)$ стульев в ряду.

Площадь площадки равна $600 \, \text{м}^2$, значит: $xy = 600$;

Площадь площадки вместе с дорожкой равна $704 \, \text{м}^2$, значит:

$$(x + 2)(y + 2) = 704;$$

Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} xy = 600 \\ (x + 2)(y + 2) = 704 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = 600 \\ xy — 2x + 4y — 8 = 704 \end{cases};$$

$600 — 2x + 4y — 8 = 704$;

$$2(x + y) = 704 — 600 — 4;$$

$2(x + y) = 100 \quad | : 2$;

$$x + y = 50;$$ $$y = 50 — x;$$

$x = 600$;

$$x(50-x)-600=0;$$

$$x(50 — x) — 600 = 0;$$ $$50x-x^2-600=0\mathrm{\mid }\cdot (-1);$$

$$50x — x^2 — 600 = 0 \quad | \cdot (-1);$$ $$x^2 — 50x + 600 = 0;$$

$D = 50^2 — 4 \cdot 600 = 2500 — 2400 = 100$, тогда:

$$x_1 = \frac{50 — 10}{2} = 20 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{50 + 10}{2} = 30;$$

$y_1 = 50 — 20 = 30 \quad \text{и} \quad y_2 = 50 — 30 = 20;$

Ответ: 20 метров на 30 метров.