ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 475 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Площадь прямоугольного треугольника равна $30{\text{см}}^2$, а его гипотенуза равна $13\text{см}$.

Найдите катеты треугольника.

1) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $x\text{см}$ и $y\text{см}$;

2) Площадь треугольника равна $30{\text{см}}^2$, значит: $\frac{1}{2}xy=30$;

3) Длина гипотенузы равна $13\text{см}$, значит: $x^2+y^2=169$;

4) Составим и решим систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}xy=60\\ x^2+y^2=169\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=\frac{60}{x}\\ x^2+y^2-169=0\end{array};$$

$$$$$$x^2+{\left(\frac{60}{x}\right)}^2-169=0;$$

$$$$$$x^2+\frac{3600}{x^2}-169=0\mathrm{\mid }\cdot x^2;$$

$$$$$$x^4+3600-169x^2=0;$$

5) Пусть $a=x^2$, тогда:

$$a^2-169a+3600=0;$$

$$$$$$D={169}^2-4\cdot 3600=28561-14400=14161={119}^2,$$

тогда:

$$a_1=\frac{169-119}{2}=\frac{50}{2}=25\text{и}{a}_2=\frac{169+119}{2}=\frac{288}{2}=144;$$

6) Вернем замену $x=\sqrt{a}$:

$$x_1=\sqrt{25}=5\text{и}{x}_2=\sqrt{144}=12;$$

$$$$$$y_1=\frac{60}{5}=12\text{и}{y}_2=\frac{60}{12}=5;$$

Ответ: $5\text{см}$ и $12\text{см}$.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $x$ см и $y$ см; площадь равна $30$ см$^2$, поэтому по формуле площади прямоугольного треугольника $\frac{1}{2}xy=30$, откуда $xy=60$, при этом длины катетов положительны $x>0$, $y>0$; по теореме Пифагора гипотенуза равна $13$ см, значит выполняется равенство $x^2+y^2=169$, следовательно имеем систему $\{\,xy=60;\;x^2+y^2=169\,\}$, которую решим методом подстановки: выразим $y=\frac{60}{x}$ при $x\ne 0$ и подставим во второе уравнение, получим $x^2+\left(\frac{60}{x}\right)^2=169$, умножим на $x^2$ (что допустимо, так как $x^2>0$) и устраним знаменатель, получим уравнение четвертой степени $x^4+3600-169x^2=0$, введём обозначение $a=x^2$ (так как $x^2\ge 0$) и сведём задачу к квадратному уравнению относительно $a$: $a^2-169a+3600=0$, найдём дискриминант $D=169^2-4\cdot 3600=28561-14400=14161$, заметим, что $14161=119^2$, тогда корни равны $a=\frac{169\pm 119}{2}$, то есть $a_1=\frac{169-119}{2}=\frac{50}{2}=25$ и $a_2=\frac{169+119}{2}=\frac{288}{2}=144$; вернёмся к переменной $x$: из $x^2=a$ получаем $x=\sqrt{25}=5$ и $x=\sqrt{144}=12$ (берём только положительные значения, так как длина неотрицательна), соответствующие значения второго катета по формуле $y=\frac{60}{x}$ равны $y=\frac{60}{5}=12$ и $y=\frac{60}{12}=5$; проверка условий задачи показывает, что для пар $(x,y)=(5,12)$ и $(x,y)=(12,5)$ выполнены одновременно равенства $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$ и $5^2+12^2=25+144=169$, следовательно найденные размеры удовлетворяют исходным условиям; окончательный результат: катеты равны $5$ см и $12$ см.