ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 474 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Спортивная площадка прямоугольной формы занимает площадь, равную 600 м². Когда вокруг нее проложили дорожку шириной в 1 м, то площадка вместе с дорожкой стала занимать площадь 704 м². Найдите размеры площадки.

Пусть одна сторона площадки равна $x$ м, а другая — $y$ м, тогда:

$(x + 2)$ м и $(y + 2)$ м — равны сторонам с учетом ширины дорожки;

Площадь площадки равна $600 \,\text{м}^2$, значит: $xy = 600$;

Площадь площадки вместе с дорожкой равна $704 \,\text{м}^2$, значит:

$(x + 2)(y + 2) = 704$;

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} xy = 600 \\ (x + 2)(y + 2) = 704 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = 600 \\ xy + 2x + 2y + 4 = 704 \end{cases}$;

$600 + 2x + 2y + 4 = 704$;

$2(x + y) = 704 — 600 — 4$;

$2(x + y) = 100 \, | :2$;

$x + y = 50$;

$y = 50 — x$;

$xy = 600$;

$x(50 — x) — 600 = 0$;

$50x — x^2 — 600 = 0 \, | \cdot (-1)$;

$x^2 — 50x + 600 = 0$;

$D = 50^2 — 4 \cdot 600 = 2500 — 2400 = 100$, тогда:

$x_1 = \frac{50 — 10}{2} = 20$ и $x_2 = \frac{50 + 10}{2} = 30$;

$y_1 = 50 — 20 = 30$ и $y_2 = 50 — 30 = 20$;

Ответ: 20 метров на 30 метров.

Пусть одна сторона площадки равна $x$ м, а другая — $y$ м. Так как вокруг площадки идёт дорожка шириной 1 м с каждой стороны по каждому направлению, то каждая линейная размерность увеличивается на $1 + 1 = 2$ м, следовательно общие размеры прямоугольника с дорожкой равны $(x + 2)$ м и $(y + 2)$ м. Площадь самой площадки равна $600 \,\text{м}^2$, то есть $xy = 600$. Площадь площадки вместе с дорожкой равна $704 \,\text{м}^2$, то есть $(x + 2)(y + 2) = 704$.

Составим и последовательно упростим систему. Из условия имеем систему двух уравнений для неизвестных $x$ и $y$: $xy = 600$ и $(x + 2)(y + 2) = 704$. Раскрываем второе уравнение методом распределительного умножения: $(x + 2)(y + 2) = xy + 2x + 2y + 4$. Подставляем $xy = 600$ в это равенство и получаем $600 + 2x + 2y + 4 = 704$. Переносим константы вправо: $2x + 2y = 704 — 600 — 4$. Вычисляем правую часть: $2x + 2y = 100$. Делим обе части на $2$: $x + y = 50$.

Решим систему $xy = 600$ и $x + y = 50$ подстановкой. Выразим одну переменную через другую, например $y = 50 — x$, и подставим в равенство $xy = 600$: $x(50 — x) = 600$. Приведём левую часть к стандартному квадратному виду: $50x — x^2 = 600$. Перенесём всё в одну сторону: $-x^2 + 50x — 600 = 0$. Умножим на $-1$ (на множество решений это не влияет): $x^2 — 50x + 600 = 0$. Это квадратное уравнение относительно $x$ со стандартными коэффициентами.

Найдём корни уравнения $x^2 — 50x + 600 = 0$ через дискриминант. Дискриминант равен $D = 50^2 — 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 — 2400 = 100$. Так как $D > 0$, получаем два действительных корня по формуле: $x = \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{50 \pm 10}{2}$. Тогда $x_1 = \frac{50 — 10}{2} = 20$ и $x_2 = \frac{50 + 10}{2} = 30$.

Восстановим соответствующие значения $y$ из равенства суммы $x + y = 50$. Для $x_1 = 20$ имеем $y_1 = 50 — 20 = 30$. Для $x_2 = 30$ имеем $y_2 = 50 — 30 = 20$. Поскольку роли $x$ и $y$ симметричны (обозначают длину и ширину прямоугольника), получаем одну и ту же пару размеров $20$ м и $30$ м.

Выполним проверку найденных размеров на исходных уравнениях. Проверка площади площадки: $20 \cdot 30 = 600$. Проверка площади вместе с дорожкой: $(20 + 2)(30 + 2) = 22 \cdot 32 = 704$. Оба условия выполняются, значит решения корректны и соответствуют геометрическому смыслу задачи.

Ответ: 20 метров на 30 метров.