ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 471 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Периметр прямоугольника 14 см, а длина его диагонали 5 см. Найдите стороны прямоугольника.
б) Одна из сторон прямоугольника на 2 см короче другой, а его диагональ равна 10 см. Найдите стороны прямоугольника.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $x$ см и $y$ см.

1) Периметр равен 14 см, значит: $x + y = 7$;

2) Длина диагонали равна 5 см, значит: $x^2 + y^2 = 25$;

3) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 7 — x \\ x^2 + y^2 — 25 = 0 \end{cases}$$

$$x^2+(7-x{)}^2-25=0;$$

$$x^2 + (7 — x)^2 — 25 = 0;$$ $$x^2+49-14x+x^2-25=0;$$

$$x^2 + 49 — 14x + x^2 — 25 = 0;$$ $$2x^2-14x+24=0\mathrm{\mid }:2;$$

$$2x^2 — 14x + 24 = 0 \quad | : 2;$$ $$x^2-7x+12=0;$$

$$x^2 — 7x + 12 = 0;$$ $$D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1;$$

тогда:

$$x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4;$$ $$y_1 = 7 — 3 = 4 \quad \text{и} \quad y_2 = 7 — 4 = 3;$$

Ответ: 3 см и 4 см.

б) Пусть стороны прямоугольника равны $x$ см и $y$ см.

1) Одна из сторон на 2 см короче другой, значит: $x — y = 2$;

2) Длина диагонали равна 10 см, значит: $x^2 + y^2 = 100$;

3) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x — y = 2 \\ x^2 + y^2 = 100 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x — 2 \\ x^2 + y^2 — 100 = 0 \end{cases}$$

$$x^2+(x-2{)}^2-100=0;$$

$$x^2 + (x — 2)^2 — 100 = 0;$$ $$x^2+x^2-4x+4-100=0;$$

$$x^2 + x^2 — 4x + 4 — 100 = 0;$$ $$2x^2-4x-96=0\mathrm{\mid }:2;$$

$$2x^2 — 4x — 96 = 0 \quad | : 2;$$ $$x^2-2x-48=0;$$

$$x^2 — 2x — 48 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 48 = 4 + 192 = 196 = 14^2;$$

тогда:

$$x_1 = \frac{2 — 14}{2} = -6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 14}{2} = 8;$$

4) Сторона не может иметь отрицательную длину:

$$x \neq -6, \quad \text{значит } x = 8 \, (\text{см}), \quad \text{тогда } y = 8 — 2 = 6 \, (\text{см});$$

Ответ: 6 см и 8 см.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $x$ см и $y$ см.

Периметр равен 14 см, значит: $x + y = 7$;

Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон, но так как противоположные стороны прямоугольника равны, то периметр можно выразить как сумму двух сторон и двух длин гипотенузы. В данном случае, сумма длин сторон равна 7 см, то есть:

$$x + y = 7.$$

Длина диагонали равна 5 см, значит: $x^2 + y^2 = 25$;

Длина диагонали прямоугольного треугольника равна гипотенузе, и, по теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть:

$$x^2 + y^2 = 25.$$

Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 7 — x \\ x^2 + y^2 — 25 = 0 \end{cases}$$

Теперь подставим выражение $y = 7 — x$ из первого уравнения во второе:

$$x^2 + (7 — x)^2 — 25 = 0.$$

Раскрываем скобки:

$$x^2 + 49 — 14x + x^2 — 25 = 0.$$

Приводим подобные слагаемые:

$$2x^2 — 14x + 24 = 0 \quad | : 2.$$

Делим обе части на 2 для упрощения:

$$x^2 — 7x + 12 = 0.$$

Теперь находим дискриминант $D$ для этого квадратного уравнения. Для этого используем формулу для дискриминанта $D$:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = -7$, $c = 12$. Подставляем значения:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1.$$

Так как дискриминант $D = 1$, это означает, что у уравнения два действительных корня. Теперь находим корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-(-7)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{7-1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

$$x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 1}{2} = \frac{6}{2} = 3,$$ $$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4.$$

Теперь находим соответствующие значения $y$, подставляя найденные значения $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$ в уравнение $y = 7 — x$:

Для $x_1 = 3$:

$$y_1 = 7 — 3 = 4.$$

Для $x_2 = 4$:

$$y_2 = 7 — 4 = 3.$$

Ответ: 3 см и 4 см.

б) Пусть стороны прямоугольника равны $x$ см и $y$ см.

Одна из сторон на 2 см короче другой, значит: $x — y = 2$;

Это уравнение отражает, что разница между длинными сторон прямоугольника составляет 2 см. Мы можем выразить одну из сторон через другую, например, $x = y + 2$.

Длина диагонали равна 10 см, значит: $x^2 + y^2 = 100$;

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. В данном случае, гипотенуза равна 10 см, и это даёт уравнение:

$$x^2 + y^2 = 100.$$

Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x — y = 2 \\ x^2 + y^2 = 100 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x — 2 \\ x^2 + y^2 — 100 = 0 \end{cases}$$

Подставим $y = x — 2$ во второе уравнение:

$$x^2 + (x — 2)^2 — 100 = 0.$$

Раскрываем скобки:

$$x^2 + x^2 — 4x + 4 — 100 = 0.$$

Собираем подобные слагаемые:

$$2x^2 — 4x — 96 = 0 \quad | : 2.$$

Делим обе части на 2 для упрощения:

$$x^2 — 2x — 48 = 0.$$

Теперь находим дискриминант $D$ для этого квадратного уравнения:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2.$$

Так как дискриминант $D = 196$ является полным квадратом, у уравнения два действительных корня. Теперь находим корни с помощью формулы:

$$x_1=\frac{-(-2)-14}{2\cdot 1}=\frac{2-14}{2}=\frac{-12}{2}=-6,$$

$$x_1 = \frac{-(-2) — 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6,$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8.$$

Катет не может иметь отрицательную длину, следовательно, $x_1 = -6$ не подходит. Таким образом, $x = 8$.

Теперь находим соответствующее значение $y$, подставляя $x = 8$ в уравнение $y = x — 2$:

$$y = 8 — 2 = 6.$$

Ответ: 6 см и 8 см.