ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 470 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, его гипотенуза равна 10 см. Найдите катеты этого треугольника.
б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из его катетов больше другого на 17 см. Найдите катеты этого треугольника.

а) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $x$ см и $y$ см.

1) Гипотенуза равна 10 см, значит: $x^2 + y^2 = 100$;

2) Периметр треугольника равен 24 см, значит: $x + y + 10 = 24$;

3) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ x + y + 10 = 24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 — 100 = 0 \\ y = 14 — x \end{cases}$$

Подставляем $y = 14 — x$ во первое уравнение:

$$x^2 + (14 — x)^2 — 100 = 0;$$

Раскрываем скобки:

$$x^2 + 196 — 28x + x^2 — 100 = 0;$$

Приводим подобные слагаемые:

$$2x^2 — 28x + 96 = 0 \quad | : 2;$$

Упрощаем:

$$x^2 — 14x + 48 = 0;$$

Теперь вычислим дискриминант $D$ для этого квадратного уравнения:

$$D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 — 192 = 4;$$

Так как дискриминант $D = 4$ является полным квадратом, у уравнения два действительных корня. Находим корни с помощью формулы:

$$x_1=\frac{-(-14)-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{14-2}{2}=\frac{12}{2}=6,$$

$$x_1 = \frac{-(-14) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14 — 2}{2} = \frac{12}{2} = 6,$$ $$x_2 = \frac{-(-14) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8.$$

Теперь находим соответствующие значения $y$, подставляя $x_1 = 6$ и $x_2 = 8$ в уравнение $y = 14 — x$:

Для $x_1 = 6$:

$$y_1 = 14 — 6 = 8;$$

Для $x_2 = 8$:

$$y_2 = 14 — 8 = 6.$$

Ответ: 6 см и 8 см.

б) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $x$ см и $y$ см.

1) Гипотенуза равна 25 см, значит: $x^2 + y^2 = 625$;

2) Один из катетов на 17 см больше другого, значит: $x — y = 17$;

3) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 625 \\ x — y = 17 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 — 625 = 0 \\ y = x — 17 \end{cases}$$

Подставляем $y = x — 17$ во первое уравнение:

$$x^2 + (x — 17)^2 — 625 = 0;$$

Раскрываем скобки:

$$x^2 + x^2 — 34x + 289 — 625 = 0;$$

Приводим подобные слагаемые:

$$2x^2 — 34x — 336 = 0 \quad | : 2;$$

Упрощаем:

$$x^2 — 17x — 168 = 0;$$

Теперь вычислим дискриминант $D$ для этого квадратного уравнения:

$$D = (-17)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 289 + 672 = 961 = 31^2;$$

Так как дискриминант $D = 961$ является полным квадратом, у уравнения два действительных корня. Находим корни с помощью формулы:

$$x_1=\frac{-(-17)-31}{2\cdot 1}=\frac{17-31}{2}=\frac{-14}{2}=-7,$$

$$x_1 = \frac{-(-17) — 31}{2 \cdot 1} = \frac{17 — 31}{2} = \frac{-14}{2} = -7,$$ $$x_2 = \frac{-(-17) + 31}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 31}{2} = \frac{48}{2} = 24.$$

Катет не может иметь отрицательную длину, следовательно, $x_1 = -7$ не подходит. Таким образом, $x = 24$.

Теперь находим соответствующее значение $y$, подставляя $x = 24$ в уравнение $y = x — 17$:

$$y = 24 — 17 = 7.$$

Ответ: 7 см и 24 см.

а) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $x$ см и $y$ см.

Гипотенуза равна 10 см, значит: $x^2 + y^2 = 100$;

Это уравнение основывается на теореме Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Поскольку гипотенуза равна 10 см, получаем:

$$x^2 + y^2 = 100.$$

Периметр треугольника равен 24 см, значит: $x + y + 10 = 24$;

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин всех его сторон. Площадь и длина гипотенузы уже известны, значит, сумма катетов и гипотенузы должна быть равна 24 см:

$$x + y + 10 = 24 \quad \Rightarrow \quad x + y = 14.$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ x + y = 14 \end{cases}$$

Составим и решим систему уравнений:

Из второго уравнения выражаем $y$ через $x$:

$$y = 14 — x.$$

Подставляем это выражение в первое уравнение:

$$x^2 + (14 — x)^2 = 100.$$

Теперь раскрываем скобки:

$$x^2 + (14^2 — 2 \cdot 14 \cdot x + x^2) = 100.$$

Упростим:

$$x^2 + 196 — 28x + x^2 = 100.$$

Собираем подобные слагаемые:

$$2x^2 — 28x + 196 = 100 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 — 28x + 96 = 0.$$

Теперь разделим обе части на 2:

$$x^2 — 14x + 48 = 0.$$

Решим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант $D$ для уравнения $x^2 — 14x + 48 = 0$:

$$D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 — 192 = 4.$$

Так как дискриминант $D = 4$ является полным квадратом, у уравнения два действительных корня. Находим их с помощью формулы:

$$x_1=\frac{-(-14)-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{14-2}{2}=\frac{12}{2}=6,$$

$$x_1 = \frac{-(-14) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14 — 2}{2} = \frac{12}{2} = 6,$$ $$x_2 = \frac{-(-14) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8.$$

Теперь найдем соответствующие значения $y$. Подставляем $x_1 = 6$ и $x_2 = 8$ в уравнение $y = 14 — x$:

Для $x_1 = 6$:

$$y_1 = 14 — 6 = 8.$$

Для $x_2 = 8$:

$$y_2 = 14 — 8 = 6.$$

Ответ: 6 см и 8 см.

б) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $x$ см и $y$ см.

Гипотенуза равна 25 см, значит: $x^2 + y^2 = 625$;

Это уравнение снова основано на теореме Пифагора. Площадь гипотенузы равна 25 см, и, следовательно, квадрат гипотенузы равен 625 см². Поэтому получаем:

$$x^2 + y^2 = 625.$$

Один из катетов на 17 см больше другого, значит: $x — y = 17$;

Из условия задачи известно, что разница между длинами катетов составляет 17 см. Мы можем выразить $x$ через $y$:

$$x = y + 17.$$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение.

Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 625 \\ x — y = 17 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = y + 17 \\ xy — 625 = 0 \end{cases}$$

Подставляем $x = y + 17$ во второе уравнение:

$$(y + 17)^2 + y^2 = 625.$$

Раскрываем скобки:

$$y^2 + 34y + 289 + y^2 = 625.$$

Собираем подобные слагаемые:

$$2y^2 + 34y + 289 = 625 \quad \Rightarrow \quad 2y^2 + 34y — 336 = 0.$$

Теперь разделим обе части на 2:

$$y^2 + 17y — 168 = 0.$$

Решим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант $D$ для уравнения $y^2 + 17y — 168 = 0$:

$$D = 17^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 289 + 672 = 961 = 31^2.$$

Так как дискриминант $D = 961$ является полным квадратом, у уравнения два действительных корня. Находим их с помощью формулы:

$$y_1=\frac{-17-31}{2}=\frac{-48}{2}=-24,$$

$$y_1 = \frac{-17 — 31}{2} = \frac{-48}{2} = -24,$$ $$y_2 = \frac{-17 + 31}{2} = \frac{14}{2} = 7.$$

Катет не может быть отрицательным, следовательно, $y_1 = -24$ не подходит. Таким образом, $y = 7$.

Теперь находим соответствующее значение $x$, подставляя $y = 7$ в уравнение $x = y + 17$:

$$x = 7 + 17 = 24.$$

Ответ: 7 см и 24 см.