ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 469 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Имеется 84 фишки. Можно ли выложить их на столе одинаковыми рядами так, чтобы:
а) рядов было на 3 меньше, чем фишек в каждом ряду;
б) рядов было на 5 больше, чем фишек в каждом ряду?

а) Пусть $x$ — количество рядов, а $y$ — количество фишек в ряду.

1) Всего фишек 84 штуки, значит: $xy = 84$;

2) Рядов на 3 меньше, чем фишек в каждом ряду, значит: $y — x = 3$;

3) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} y — x = 3 \\ xy = 84 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 3 + x \\ xy — 84 = 0 \end{cases}$$

Подставляем $y = 3 + x$ во второе уравнение:

$$x(3 + x) — 84 = 0;$$

Раскрываем скобки:

$$x^2 + 3x — 84 = 0;$$

Теперь находим дискриминант $D$ для этого квадратного уравнения:

$$D = 3^2 + 4 \cdot 84 = 9 + 336 = 345;$$

Так как дискриминант $D = 345$ не является полным квадратом, корни данного уравнения будут иррациональными. Следовательно, количество рядов не может быть целым числом.

Ответ: нельзя.

б) Пусть $x$ — количество рядов, а $y$ — количество фишек в ряду.

1) Всего фишек 84 штуки, значит: $xy = 84$;

2) Рядов на 5 больше, чем фишек в каждом ряду, значит: $x — y = 5$;

3) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x — y = 5 \\ xy = 84 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x — 5 \\ xy — 84 = 0 \end{cases}$$

Подставляем $y = x — 5$ во второе уравнение:

$$x(x — 5) — 84 = 0;$$

Раскрываем скобки:

$$x^2 — 5x — 84 = 0;$$

Теперь находим дискриминант $D$ для этого квадратного уравнения:

$$D = 5^2 + 4 \cdot 84 = 25 + 336 = 361 = 19^2;$$

Так как дискриминант $D = 361$ является полным квадратом, у уравнения два действительных корня. Находим корни с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-5 — 19}{2} = -7 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 19}{2} = 12;$$

Количество рядов не может быть отрицательным, следовательно, $x = 12$.

Теперь находим соответствующее значение $y$, подставляя $x = 12$ в уравнение $y = x — 5$:

$$y = 12 — 5 = 7.$$

Ответ: можно в 12 рядов по 7 фишек.

а) Пусть $x$ — количество рядов, а $y$ — количество фишек в ряду.

Всего фишек 84 штуки, значит: $xy = 84$;

Это уравнение выражает тот факт, что общее количество фишек, распределённых по рядам, равно 84. Количество фишек в каждом ряду обозначается как $y$, а количество рядов — как $x$. Таким образом, произведение этих двух величин даёт общее количество фишек на поле.

Рядов на 3 меньше, чем фишек в каждом ряду, значит: $y — x = 3$;

Это уравнение отражает связь между количеством рядов и количеством фишек в каждом ряду. Из условия задачи известно, что количество рядов на 3 меньше, чем количество фишек в каждом ряду, то есть:

$$y = x + 3.$$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение.

Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} y — x = 3 \\ xy = 84 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 3 + x \\ xy — 84 = 0 \end{cases}$$

Подставим $y = 3 + x$ во второе уравнение:

$$x(3 + x) — 84 = 0.$$

Раскрываем скобки:

$$3x + x^2 — 84 = 0.$$

Теперь получаем стандартное квадратное уравнение:

$$x^2 + 3x — 84 = 0.$$

Далее вычислим дискриминант $D$ для этого квадратного уравнения. Используем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = 3$, $c = -84$. Подставляем значения:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 9 + 336 = 345.$$

Так как дискриминант $D = 345$ не является полным квадратом, корни этого уравнения будут иррациональными числами. Это означает, что $x$ не может быть целым числом.

Ответ: нельзя.

б) Пусть $x$ — количество рядов, а $y$ — количество фишек в ряду.

Всего фишек 84 штуки, значит: $xy = 84$;

Рядов на 5 больше, чем фишек в каждом ряду, значит: $x — y = 5$;

Это уравнение отражает, что количество рядов на 5 больше, чем количество фишек в каждом ряду. Таким образом, мы можем выразить $x$ через $y$:

$$x = y + 5.$$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение.

Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x — y = 5 \\ xy = 84 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = y + 5 \\ xy — 84 = 0 \end{cases}$$

Подставим $x = y + 5$ во второе уравнение:

$$(y + 5)y — 84 = 0.$$

Раскрываем скобки:

$$y^2 + 5y — 84 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = 5$, $c = -84$. Подставляем значения:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 = 19^2.$$

Так как дискриминант $D = 361$ является полным квадратом, у уравнения два действительных корня. Находим корни с помощью формулы:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = 5$, $D = 361$, и $a = 1$:

$$y_1=\frac{-5-19}{2\cdot 1}=\frac{-24}{2}=-12,$$

$$y_1 = \frac{-5 — 19}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12,$$ $$y_2 = \frac{-5 + 19}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7.$$

Так как количество фишек не может быть отрицательным, $y_1 = -12$ не подходит. Следовательно, $y = 7$.

Теперь находим соответствующее значение $x$, подставляя $y = 7$ в уравнение $x = y + 5$:

$$x = 7 + 5 = 12.$$

Ответ: можно в 12 рядов по 7 фишек.