ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 468 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Стройплощадка имеет форму прямоугольника. Длина ограждения вокруг стройплощадки 120 м, а её площадь равна 800 м². Найдите стороны стройплощадки.

б) Сад заложен на участке прямоугольной формы. Площадь участка равна 700 м², а одна из его сторон на 15 м длиннее другой. Найдите стороны участка.

а) Пусть одна сторона стройплощадки равна $x$ м, а другая — $y$ м;

1) Длина ограждения равна 120 м, значит: $x + y = 60$ м;

2) Площадь стройплощадки равна 800 м², значит: $xy = 800$;

3) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 60 \\ xy = 800 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 60 — x \\ xy — 800 = 0 \end{cases}$$

Подставим $y = 60 — x$ в уравнение $xy — 800 = 0$:

$$x(60 — x) — 800 = 0;$$

Раскрываем скобки:

$$60x — x^2 — 800 = 0 \quad | \cdot (-1);$$

Умножаем обе части на $(-1)$, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$:

$$x^2 — 60x + 800 = 0;$$

Теперь вычислим дискриминант данного квадратного уравнения. Используем формулу для дискриминанта $D$:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = -60$, $c = 800$. Подставляем значения:

$$D = (-60)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 800 = 3600 — 3200 = 400 = 20^2;$$

Так как $D = 400$, дискриминант является полным квадратом, следовательно, у уравнения два действительных корня. Находим корни с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = -60$, $D = 400$, и $a = 1$:

$$x_1=\frac{-(-60)-20}{2\cdot 1}=\frac{60-20}{2}=\frac{40}{2}=20,$$

$$x_1 = \frac{-(-60) — 20}{2 \cdot 1} = \frac{60 — 20}{2} = \frac{40}{2} = 20,$$ $$x_2 = \frac{-(-60) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{60 + 20}{2} = \frac{80}{2} = 40.$$

Теперь находим соответствующие значения $y$, подставляя $x_1 = 20$ и $x_2 = 40$ в уравнение $y = 60 — x$:

Для $x_1 = 20$:

$$y_1 = 60 — 20 = 40;$$

Для $x_2 = 40$:

$$y_2 = 60 — 40 = 20.$$

Ответ: 20 метров и 40 метров.

б) Пусть одна сторона участка равна $x$ м, а другая сторона — $y$ м;

1) Площадь участка равна 700 м², значит: $xy = 700$;

2) Одна из сторон на 15 м длиннее другой, значит: $x — y = 15$;

3) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x — y = 15 \\ xy = 700 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x — 15 \\ xy — 700 = 0 \end{cases}$$

Подставляем $y = x — 15$ в уравнение $xy — 700 = 0$:

$$x(x — 15) — 700 = 0;$$

Раскрываем скобки:

$$x^2 — 15x — 700 = 0;$$

Теперь вычислим дискриминант данного квадратного уравнения. Используем формулу для дискриминанта $D$:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = -15$, $c = -700$. Подставляем значения:

$$D = (-15)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-700) = 225 + 2800 = 3025 = 55^2;$$

Так как $D = 3025$, дискриминант является полным квадратом, следовательно, у уравнения два действительных корня. Находим корни с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = -15$, $D = 3025$, и $a = 1$:

$$x_1=\frac{-(-15)-55}{2\cdot 1}=\frac{15-55}{2}=\frac{-40}{2}=-20,$$

$$x_1 = \frac{-(-15) — 55}{2 \cdot 1} = \frac{15 — 55}{2} = \frac{-40}{2} = -20,$$ $$x_2 = \frac{-(-15) + 55}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 55}{2} = \frac{70}{2} = 35.$$

4) Сторона не может иметь отрицательную длину, следовательно, $x_1 = -20$ не подходит. Таким образом, $x = 35$ м. Теперь находим соответствующее значение $y$, подставляя $x = 35$ в уравнение $y = x — 15$:

$$y = 35 — 15 = 20.$$

Ответ: 20 метров и 35 метров.

а) Пусть одна сторона стройплощадки равна $x$ м, а другая — $y$ м;

Длина ограждения равна 120 м, значит: $x + y = 60$ м;

Это уравнение описывает сумму длин двух сторон ограждения стройплощадки. Мы знаем, что ограждение прямоугольной стройплощадки состоит из четырёх сторон, и две из них составляют сумму 60 м.

Площадь стройплощадки равна 800 м², значит: $xy = 800$;

Площадь прямоугольной стройплощадки вычисляется как произведение длин её сторон, то есть $x \cdot y = 800$, где $x$ и $y$ — длины сторон.

Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 60 \\ xy = 800 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 60 — x \\ xy — 800 = 0 \end{cases}$$

Подставим $y = 60 — x$ во второе уравнение:

$$x(60 — x) — 800 = 0;$$

Раскрываем скобки:

$$60x — x^2 — 800 = 0;$$

Теперь умножим обе части на $(-1)$, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$:

$$x^2 — 60x + 800 = 0;$$

Найдём дискриминант для этого квадратного уравнения. Формула для дискриминанта $D$:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = -60$, $c = 800$. Подставим значения:

$$D = (-60)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 800 = 3600 — 3200 = 400 = 20^2;$$

Так как $D = 400$, дискриминант является полным квадратом, значит, у уравнения два действительных корня. Найдём корни с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = -60$, $D = 400$, и $a = 1$:

$$x_1=\frac{-(-60)-20}{2\cdot 1}=\frac{60-20}{2}=\frac{40}{2}=20,$$

$$x_1 = \frac{-(-60) — 20}{2 \cdot 1} = \frac{60 — 20}{2} = \frac{40}{2} = 20,$$ $$x_2 = \frac{-(-60) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{60 + 20}{2} = \frac{80}{2} = 40.$$

Теперь находим соответствующие значения $y$, подставляя $x_1 = 20$ и $x_2 = 40$ в уравнение $y = 60 — x$:

Для $x_1 = 20$:

$$y_1 = 60 — 20 = 40;$$

Для $x_2 = 40$:

$$y_2 = 60 — 40 = 20.$$

Ответ: 20 метров и 40 метров.

б) Пусть одна сторона участка равна $x$ м, а другая сторона — $y$ м;

Площадь участка равна 700 м², значит: $xy = 700$;

Площадь участка вычисляется как произведение длин двух сторон, то есть $x \cdot y = 700$.

Одна из сторон на 15 м длиннее другой, значит: $x — y = 15$;

Это уравнение выражает разницу между длинными сторон участка, и эта разница составляет 15 м.

Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x — y = 15 \\ xy = 700 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x — 15 \\ xy — 700 = 0 \end{cases}$$

Подставляем $y = x — 15$ во второе уравнение:

$$x(x — 15) — 700 = 0;$$

Раскрываем скобки:

$$x^2 — 15x — 700 = 0;$$

Найдём дискриминант для этого квадратного уравнения. Формула для дискриминанта $D$:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = -15$, $c = -700$. Подставим значения:

$$D = (-15)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-700) = 225 + 2800 = 3025 = 55^2;$$

Так как $D = 3025$, дискриминант является полным квадратом, значит, у уравнения два действительных корня. Найдём корни с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = -15$, $D = 3025$, и $a = 1$:

$$x_1=\frac{-(-15)-55}{2\cdot 1}=\frac{15-55}{2}=\frac{-40}{2}=-20,$$

$$x_1 = \frac{-(-15) — 55}{2 \cdot 1} = \frac{15 — 55}{2} = \frac{-40}{2} = -20,$$ $$x_2 = \frac{-(-15) + 55}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 55}{2} = \frac{70}{2} = 35.$$

Сторона не может иметь отрицательную длину, следовательно, $x_1 = -20$ не подходит. Таким образом, $x = 35$ м. Теперь находим соответствующее значение $y$, подставляя $x = 35$ в уравнение $y = x — 15$:

$$y = 35 — 15 = 20.$$

Ответ: 20 метров и 35 метров.