ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 467 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Существуют ли два числа, таких, что:
а) их сумма равна 10, а произведение равно -24;
б) их разность равна 2, а произведение равно -4?

а) Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:

$$\{\begin{array}{l}x+y=10\\ xy=-24\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=10-x\\ xy+24=0\end{array}$$

$$x(10-x)+24=0;$$

$$$$$$10x-x^2+24=0\mathrm{\mid }\cdot (-1);$$

$$$$$$x^2-10x-24=0;$$

$$$$$$D={10}^2+4\cdot 24=100+96=196={14}^2;$$

тогда:

$$x_1=\frac{10-14}{2}=-2\text{и}{x}_2=\frac{10+14}{2}=12;$$$$y_1=10+2=12\text{и}{y}_2=10-12=-2;$$

Ответ: $-2$ и $12$.

б) Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:

$$\{\begin{array}{l}x-y=2\\ xy=-4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=x-2\\ xy+4=0\end{array}$$

$$x(x-2)+4=0;$$

$$$$$$x^2-2x+4=0;$$

$$$$$$D=2^2-4\cdot 4=4-16=-12;$$

$D<0$, значит корней нет;

Ответ: таких чисел не существует.

а) Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:

$$\{\begin{array}{l}x+y=10\\ xy=-24\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=10-x\\ xy+24=0\end{array}$$

Из второго уравнения подставляем $y=10-x$ в первое уравнение:

$$x(10-x)+24=0;$$

Раскрываем скобки:

$$10x-x^2+24=0;$$

Теперь приводим подобные слагаемые:

$$-x^2+10x+24=0.$$

Умножим обе части на $(-1)$, чтобы избавиться от минуса при $x^2$:

$$x^2-10x-24=0.$$

Теперь находим дискриминант данного квадратного уравнения. Для этого используем формулу для дискриминанта $D$:

$$D=b^2-4ac,$$

где $a=1$, $b=-10$, $c=-24$. Подставляем значения:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot (-24)=100+96=196.$$

Так как $D=196={14}^2$, дискриминант является полным квадратом, значит у уравнения два действительных корня. Находим корни уравнения с помощью формулы:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\text{и}{x}_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\mathrm{.}$$

Подставляем значения $b=-10$, $D=196$, и $a=1$:

$$x_1=\frac{-(-10)-14}{2\cdot 1}=\frac{10-14}{2}=\frac{-4}{2}=-2,$$

$$$$$$x_2=\frac{-(-10)+14}{2\cdot 1}=\frac{10+14}{2}=\frac{24}{2}=12.$$

Теперь находим соответствующие значения $y$, подставляя $x_1=-2$ и $x_2=12$ в уравнение $y=10-x$:

Для $x_1=-2$:

$$y_1=10-(-2)=10+2=12;$$

Для $x_2=12$:

$$y_2=10-12=-2.$$

Ответ: $x_{\mathrm{}}=-2$, $y_{\mathrm{}}=12$

б) Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:

$$\{\begin{array}{l}x-y=2\\ xy=-4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=x-2\\ xy+4=0\end{array}$$

Из второго уравнения подставляем $y=x-2$ в уравнение $xy+4=0$:

$$x(x-2)+4=0;$$

Раскрываем скобки:

$$x^2-2x+4=0.$$

Теперь находим дискриминант данного квадратного уравнения. Для этого используем формулу для дискриминанта $D$:

$$D=b^2-4ac,$$

где $a=1$, $b=-2$, $c=4$. Подставляем значения:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=4-16=-12.$$

Так как дискриминант $D=-12$ отрицателен, это означает, что у уравнения нет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: таких чисел не существует.