ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 465 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $A(0; 3)$, $B(-1; 0)$ и $C(1; 4)$.

Определите, проходит ли эта парабола через точку $M(4; -5)$; точку $N(-4; -5)$.

Парабола $y = ax^2 + bx + c$;

Точки: $A(0; 3)$, $B(-1; 0)$, $C(1; 4)$

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} 3 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \\ 0 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \\ 4 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c = 3 \\ a — b + 3 = 0 \\ a + b + 3 = 4 \end{cases}$$

Сложим второе и третье уравнение:

$$a+a-b+b+3+3=0+4;$$

$$a + a — b + b + 3 + 3 = 0 + 4;$$ $$2a+6=4;$$

$$2a + 6 = 4;$$ $$2a = -2, \text{ отсюда } a = -1;$$

Подставим значение $a$ в третье уравнение:

$$-1+b+3=4;$$

$$-1 + b + 3 = 4;$$ $$b=4-3+1;$$

$$b = 4 — 3 + 1;$$ $$b = 2;$$

Искомая парабола: $y = -x^2 + 2x + 3$.

1) Проходит ли парабола через точки $M(4; -5)$ и $N(-4; -5)$:

$$y(4)=-4^2+2\cdot 4+3=-16+8+3=-5;$$

$$y(4) = -4^2 + 2 \cdot 4 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5;$$ $$y(-4) = -(-4)^2 + 2 \cdot (-4) + 3 = -16 — 8 + 3 = -21 \neq -5;$$

Ответ: проходит только через точку $M(4; -5)$.

2) Уравнение прямой $y = kx + b$, проходящей через точки $B$ и $C$:

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} 0 = k \cdot (-1) + b \\ 4 = k \cdot 1 + b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b — k = 0 \\ b + k = 4 \end{cases}$$ $$b+b-k+k=0+4;$$

$$b + b — k + k = 0 + 4;$$ $$2b=4,\text{ отсюда }b=2;$$

$$2b = 4, \text{ отсюда } b = 2;$$ $$b + k = 4, \text{ отсюда } k = 4 — b = 4 — 2 = 2;$$

Искомая прямая: $y = 2x + 2$.

Уравнение параболы имеет вид:

$$y = ax^2 + bx + c$$

Парабола проходит через точки $A(0; 3)$, $B(-1; 0)$ и $C(1; 4)$.

Для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ подставим координаты этих точек в уравнение параболы. Начнем с точки $A(0; 3)$:

$$y = ax^2 + bx + c$$

Для $A(0; 3)$, $x = 0$ и $y = 3$:

$$3 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \quad \Rightarrow \quad c = 3.$$

Теперь, используя точку $B(-1; 0)$, подставим $x = -1$ и $y = 0$:

$$0 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \quad \Rightarrow \quad a — b + c = 0 \quad \Rightarrow \quad a — b + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad a — b = -3.$$

Теперь, используя точку $C(1; 4)$, подставим $x = 1$ и $y = 4$:

$$4 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 4 \quad \Rightarrow \quad a + b + 3 = 4 \quad \Rightarrow \quad a + b = 1.$$

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} c = 3 \\ a — b = -3 \\ a + b = 1 \end{cases}$$

Сложим два уравнения:

$$a — b = -3$$ $$a + b = 1$$

При сложении этих уравнений получаем:

$$a — b + a + b = -3 + 1 \quad \Rightarrow \quad 2a = -2 \quad \Rightarrow \quad a = -1.$$

Подставим значение $a = -1$ в одно из уравнений, например, $a + b = 1$:

$$-1 + b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = 2.$$

Таким образом, найденные коэффициенты: $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$. Уравнение параболы:

$$y = -x^2 + 2x + 3.$$

Теперь проверим, проходит ли парабола через точки $M(4; -5)$ и $N(-4; -5)$.

Подставим $x = 4$ в уравнение параболы $y = -x^2 + 2x + 3$:

$$y(4) = -(4)^2 + 2 \cdot 4 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5.$$

Таким образом, точка $M(4; -5)$ лежит на параболе.

Теперь подставим $x = -4$ в уравнение параболы:

$$y(-4) = -(-4)^2 + 2 \cdot (-4) + 3 = -16 — 8 + 3 = -21 \neq -5.$$

Таким образом, точка $N(-4; -5)$ не лежит на параболе.

Ответ: парабола проходит только через точку $M(4; -5)$.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $B(-1; 0)$ и $C(1; 4)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.

Для нахождения углового коэффициента $k$ используем формулу:

$$k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}.$$

Подставим координаты точек $B(-1; 0)$ и $C(1; 4)$:

$$k = \frac{4 — 0}{1 — (-1)} = \frac{4}{2} = 2.$$

Теперь найдем $b$, подставив одну из точек, например, точку $B(-1; 0)$, в уравнение прямой $y = 2x + b$:

$$0 = 2 \cdot (-1) + b \quad \Rightarrow \quad 0 = -2 + b \quad \Rightarrow \quad b = 2.$$

Искомая прямая:

$$y = 2x + 2.$$