ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 463 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений (461–463).

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 — y^2 = 7 \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy — y = 1 \\ xy + x = 4 \end{cases}$

в) $\begin{cases} xy + x^2 = 1 \\ xy — x^2 = \frac{1}{2} \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y + xy = -6 \\ x + y — xy = 10 \end{cases}$

Указание. Воспользуйтесь методом сложения.

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 — y^2 = 7 \end{cases}$

$x^2 + x^2 + y^2 — y^2 = 25 + 7;$

$2x^2 = 32;$

$x^2 = 16, \text{ отсюда } x = \pm 4;$

$x^2 + y^2 = 25;$

$y^2 = 25 — x^2;$

$y^2 = 25 — 16;$

$y^2 = 9, \text{ отсюда } y = \pm 3;$

Ответ: $(4; 3)$, $(-4; 3)$, $(4; -3)$ и $(-4; -3)$.

б) $\begin{cases} xy — y = 1 \\ xy + x = 4 \end{cases}$

$xy — xy — y — x = 1 — 4;$

$-y — x = -3;$

$x + y = 3;$

$x = 3 — y;$

$xy — y = 1;$

$(3 — y)y — y — 1 = 0;$

$3y — y^2 — y — 1 = 0;$

$-y^2 + 2y — 1 = 0 \quad | \cdot (-1);$

$y^2 — 2y + 1 = 0;$

$(y — 1)^2 = 0;$

$y — 1 = 0, \text{ отсюда } y = 1;$

$x = 3 — 1 = 2;$

Ответ: $(2; 1)$.

в) $\begin{cases} xy + x^2 = 1 \\ xy — x^2 = \frac{1}{2} \end{cases}$

$xy + xy + x^2 — x^2 = 1 — \frac{1}{2};$

$2x^2 = \frac{1}{2};$

$x^2 = \frac{1}{4}, \text{ отсюда } x = \pm \frac{1}{2};$

$xy + x^2 = 1, \text{ отсюда } y = \frac{1}{x} — x;$

$y_1 = 1 : \left(-\frac{1}{2}\right) — \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 + 0,5 = -1,5;$

$y_2 = 1 : \frac{1}{2} — \frac{1}{2} = 2 — 0,5 = 1,5;$

Ответ: $(-0,5; -1,5)$ и $(0,5; 1,5)$.

г) $\begin{cases} x + y + xy = -6 \\ x + y — xy = 10 \end{cases}$

$x + y + x + y + xy — xy = -6 + 10;$

$2x + 2y = 4;$

$2(x + y) = 4;$

$x + y = 2;$

$y = 2 — x;$

$x + y + xy = -6;$

$x + 2 — x + x(2 — x) + 6 = 0;$

$2 + 2x — x^2 + 6 = 0;$

$-x^2 + 2x + 8 = 0 \quad | \cdot (-1);$

$x^2 — 2x — 8 = 0;$

$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36;$

тогда:

$x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4;$

$y_1 = 2 + 2 = 4$ и $y_2 = 2 — 4 = -2;$

Ответ: $(-2; 4)$ и $(4; -2)$.

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 — y^2 = 7 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^2 + y^2 = 25$ и второго уравнения $x^2 — y^2 = 7$ применим метод сложения.

Складываем оба уравнения:

$$(x^2 + y^2) + (x^2 — y^2) = 25 + 7$$

Получаем:

$$2x^2 = 32 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{32}{2} = 16.$$

Теперь извлекаем корень:

$$x = \pm 4.$$

Подставим $x^2 = 16$ в первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$:

$$16 + y^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 25 — 16 = 9.$$

Извлекаем корень:

$$y = \pm 3.$$

Ответ: $(4; 3)$, $(-4; 3)$, $(4; -3)$ и $(-4; -3)$.

б) $\begin{cases} xy — y = 1 \\ xy + x = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения $xy — y = 1$ вынесем $y$ за скобки:

$$y(x — 1) = 1 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{x — 1}.$$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение $xy + x = 4$:

$$x \cdot \frac{1}{x — 1} + x = 4.$$

Умножим на $x — 1$ обе части уравнения:

$$x + x(x — 1) = 4(x — 1).$$

Раскроем скобки:

$$x + x^2 — x = 4x — 4.$$

Упростим:

$$x^2 = 4x — 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 4x + 4 = 0.$$

Это квадратное уравнение можно упростить:

$$(x — 2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2.$$

Подставим $x = 2$ в $y = \frac{1}{x — 1}$:

$$y = \frac{1}{2 — 1} = 1.$$

Ответ: $(2; 1)$.

в) $\begin{cases} xy + x^2 = 1 \\ xy — x^2 = \frac{1}{2} \end{cases}$

Из первого уравнения $xy + x^2 = 1$ и второго уравнения $xy — x^2 = \frac{1}{2}$, сложим оба уравнения:

$$(xy + x^2) + (xy — x^2) = 1 + \frac{1}{2}.$$

Получаем:

$$2xy = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad xy = \frac{3}{4}.$$

Подставим $xy = \frac{3}{4}$ в первое уравнение $xy + x^2 = 1$:

$$\frac{3}{4} + x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.$$

Извлекаем корень:

$$x = \pm \frac{1}{2}.$$

Подставим $x = \pm \frac{1}{2}$ в $xy = \frac{3}{4}$:

Для $x = \frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}y = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3}{2}.$$

Для $x = -\frac{1}{2}$:

$$-\frac{1}{2}y = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3}{2}.$$

Ответ: $\left( \frac{1}{2}; \frac{3}{2} \right)$ и $\left( -\frac{1}{2}; -\frac{3}{2} \right)$.

г) $\begin{cases} x + y + xy = -6 \\ x + y — xy = 10 \end{cases}$

Из первого уравнения $x + y + xy = -6$ и второго уравнения $x + y — xy = 10$, сложим оба уравнения:

$$(x + y + xy) + (x + y — xy) = -6 + 10.$$

Получаем:

$$2(x + y) = 4 \quad \Rightarrow \quad x + y = 2.$$

Подставим $x + y = 2$ во первое уравнение:

$$2 + xy = -6 \quad \Rightarrow \quad xy = -6 — 2 = -8.$$

Теперь у нас система:

$$\begin{cases} x + y = 2 \\ xy = -8 \end{cases}.$$

Из первого уравнения $x + y = 2$ выразим $y = 2 — x$ и подставим это в уравнение $xy = -8$:

$$x(2 — x) = -8 \quad \Rightarrow \quad 2x — x^2 = -8 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 2x — 8 = 0.$$

Решим квадратное уравнение $x^2 — 2x — 8 = 0$ с помощью дискриминанта:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4.$$

Подставим значения $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$ в $y = 2 — x$:

Для $x_1 = -2$:

$$y_1 = 2 — (-2) = 4.$$

Для $x_2 = 4$:

$$y_2 = 2 — 4 = -2.$$

Ответ: $(-2; 4)$ и $(4; -2)$.