ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 462 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений (461–463).

а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{x} — \frac{1}{y} = -\frac{3}{4} \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \\ \frac{2}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{8}{x+y} + \frac{4}{x-y} = 3 \\ \frac{2}{x+y} — \frac{4}{x-y} = 2 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{6}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 1 \\ \frac{9}{x+y} — \frac{6}{x-y} = -1 \end{cases}$

Указание. Сведите каждое уравнение системы к линейному с помощью подходящей замены.

а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{x} — \frac{1}{y} = -\frac{3}{4} \end{cases} \quad | \cdot 4 \Rightarrow \begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 1 \\ \frac{4}{x} — \frac{4}{y} = -3 \end{cases}$

1) Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$, тогда:

$\begin{cases} 4a + 4b = 1 \\ 4a — 4b = -3 \end{cases}$

$4a + 4a + 4b — 4b = 1 — 3;$

$8a = -2, \text{ отсюда } a = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4};$

$4a + 4b = 1, \text{ отсюда } b = \frac{1}{4} — a = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2};$

2) Вернем замену:

$\frac{1}{x} = -\frac{1}{4}, \text{ отсюда } x = -4;$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{2}, \text{ отсюда } y = 2;$

Ответ: $(-4; 2)$.

б) $\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \\ \frac{2}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \end{cases} \quad | \cdot 15 \Rightarrow \begin{cases} \frac{60}{x} + \frac{15}{y} = 1 \\ \frac{30}{x} — \frac{15}{y} = 5 \end{cases}$

1) Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$, тогда:

$\begin{cases} 60a + 15b = 1 \\ 30a — 15b = 5 \end{cases}$

$60a + 30a + 15b — 15b = 1 + 5;$

$90a = 6, \text{ отсюда } a = \frac{6}{90} = \frac{1}{15};$

$60a + 15b = 1, \text{ отсюда } b = \frac{1}{15} — 4a = \frac{1}{15} — \frac{4}{15} = -\frac{1}{5};$

2) Вернем замену:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{15}, \text{ отсюда } x = 15;$

$\frac{1}{y} = -\frac{1}{5}, \text{ отсюда } y = -5;$

Ответ: $(15; -5)$.

в) $\begin{cases} \frac{8}{x+y} + \frac{4}{x-y} = 3 \\ \frac{2}{x+y} — \frac{4}{x-y} = 2 \end{cases}$

1) Пусть $a = \frac{1}{x+y}$ и $b = \frac{1}{x-y}$, тогда:

$\begin{cases} 8a + 4b = 3 \\ 2a — 4b = 2 \end{cases}$

$8a + 2a + 4b — 4b = 3 + 2;$

$10a = 5, \text{ отсюда } a = \frac{5}{10} = \frac{1}{2};$

$2a — 4b = 2, \text{ отсюда } b = \frac{1}{2}a — \frac{1}{2} = \frac{1}{4} — \frac{1}{2} = -\frac{1}{4};$

2) Вернем замену:

$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{2}, \text{ отсюда } x + y = 2;$

$\frac{1}{x-y} = -\frac{1}{4}, \text{ отсюда } x — y = -4;$

3) Найдем значения аргументов:

$\begin{cases} x + y = 2 \\ x — y = -4 \end{cases}$

$x + x + y — y = 2 — 4;$

$2x = -2, \text{ отсюда } x = -1;$

$x — y = -4, \text{ отсюда } y = x + 4 = -1 + 4 = 3;$

Ответ: $(-1; 3)$.

г) $\begin{cases} \frac{6}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 1 \\ \frac{9}{x+y} — \frac{6}{x-y} = -1 \end{cases}$

1) Пусть $a = \frac{1}{x+y}$ и $b = \frac{1}{x-y}$, тогда:

$\begin{cases} 6a + b = 1 \\ 9a — 6b = -1 \end{cases} \Rightarrow b = 1 — 6a;$

$9a — 6(1 — 6a) = -1;$

$9a — 6 + 36a = -1;$

$45a = -1 + 6;$

$45a = 5, \text{ отсюда } a = \frac{5}{45} = \frac{1}{9};$

$b = 1 — 6 \cdot \frac{1}{9} = \frac{9 — 6}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3};$

2) Вернем замену:

$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{9}, \text{ отсюда } x + y = 9;$

$\frac{1}{x-y} = \frac{1}{3}, \text{ отсюда } x — y = 3;$

3) Найдем значения аргументов:

$\begin{cases} x + y = 9 \\ x — y = 3 \end{cases}$

$x + x + y — y = 9 + 3;$

$2x = 12, \text{ отсюда } x = 6;$

$x + y = 9, \text{ отсюда } y = 9 — x = 9 — 6 = 3;$

Ответ: $(6; 3)$.

а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{x} — \frac{1}{y} = -\frac{3}{4} \end{cases} \quad | \cdot 4 \Rightarrow \begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 1 \\ \frac{4}{x} — \frac{4}{y} = -3 \end{cases}$

Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$, тогда:

$\begin{cases} 4a + 4b = 1 \\ 4a — 4b = -3 \end{cases}$

Складываем оба уравнения:

$$(4a + 4a) + (4b — 4b) = 1 + (-3).$$

Получаем:

$$8a = -2 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}.$$

Подставляем $a = -\frac{1}{4}$ в $4a + 4b = 1$:

$$4 \left( -\frac{1}{4} \right) + 4b = 1 \quad \Rightarrow \quad -1 + 4b = 1 \quad \Rightarrow \quad 4b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

Теперь вернем замену:

$$\frac{1}{x} = -\frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad x = -4,$$ $$\frac{1}{y} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad y = 2.$$

Ответ: $(-4; 2)$.

б) $\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \\ \frac{2}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \end{cases} \quad | \cdot 15 \Rightarrow \begin{cases} \frac{60}{x} + \frac{15}{y} = 1 \\ \frac{30}{x} — \frac{15}{y} = 5 \end{cases}$

Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$, тогда:

$\begin{cases} 60a + 15b = 1 \\ 30a — 15b = 5 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2 и сложим его с вторым уравнением:

$$(60a + 30a) + (15b — 15b) = 1 + 5.$$

Получаем:

$$90a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}.$$

Подставляем $a = \frac{1}{15}$ в $60a + 15b = 1$:

$$60 \cdot \frac{1}{15} + 15b = 1 \quad \Rightarrow \quad 4 + 15b = 1 \quad \Rightarrow \quad 15b = -3 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{-3}{15} = -\frac{1}{5}.$$

Теперь вернем замену:

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{15} \quad \Rightarrow \quad x = 15,$$ $$\frac{1}{y} = -\frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad y = -5.$$

Ответ: $(15; -5)$.

в) $\begin{cases} \frac{8}{x+y} + \frac{4}{x-y} = 3 \\ \frac{2}{x+y} — \frac{4}{x-y} = 2 \end{cases}$

Пусть $a = \frac{1}{x+y}$ и $b = \frac{1}{x-y}$, тогда:

$\begin{cases} 8a + 4b = 3 \\ 2a — 4b = 2 \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 2 и сложим его с первым:

$$(8a + 2a) + (4b — 4b) = 3 + 2.$$

Получаем:

$$10a = 5 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}.$$

Подставляем $a = \frac{1}{2}$ в $2a — 4b = 2$:

$$2 \cdot \frac{1}{2} — 4b = 2 \quad \Rightarrow \quad 1 — 4b = 2 \quad \Rightarrow \quad -4b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{1}{4}.$$

Теперь вернем замену:

$$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x + y = 2,$$ $$\frac{1}{x-y} = -\frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad x — y = -4.$$

Найдем значения $x$ и $y$:

$$\begin{cases} x + y = 2 \\ x — y = -4 \end{cases}$$

Складываем оба уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = 2 + (-4) \quad \Rightarrow \quad 2x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -1.$$

Подставляем $x = -1$ в $x + y = 2$:

$$-1 + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 3.$$

Ответ: $(-1; 3)$.

г) $\begin{cases} \frac{6}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 1 \\ \frac{9}{x+y} — \frac{6}{x-y} = -1 \end{cases}$

Пусть $a = \frac{1}{x+y}$ и $b = \frac{1}{x-y}$, тогда:

$\begin{cases} 6a + b = 1 \\ 9a — 6b = -1 \end{cases} \Rightarrow b = 1 — 6a;$

Подставляем $b = 1 — 6a$ в $9a — 6b = -1$:

$$9a — 6(1 — 6a) = -1 \quad \Rightarrow \quad 9a — 6 + 36a = -1 \quad \Rightarrow \quad 45a = 5 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{5}{45} = \frac{1}{9}.$$

Подставляем $a = \frac{1}{9}$ в $b = 1 — 6a$:

$$b = 1 — 6 \cdot \frac{1}{9} = \frac{9 — 6}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$$

Теперь вернем замену:

$$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{9} \quad \Rightarrow \quad x + y = 9,$$ $$\frac{1}{x-y} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad x — y = 3.$$

Найдем значения $x$ и $y$:

$$\begin{cases} x + y = 9 \\ x — y = 3 \end{cases}$$

Складываем оба уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = 9 + 3 \quad \Rightarrow \quad 2x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 6.$$

Подставляем $x = 6$ в $x + y = 9$:

$$6 + y = 9 \quad \Rightarrow \quad y = 3.$$

Ответ: $(6; 3)$.