ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 461 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений (461–463).

а) $\begin{cases} x + y = 4(x — y) \\ x^2 — y^2 = 16 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x — 2y = x + y \\ x^2 — y^2 = 8 \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{3(x — y)}{x + y} = 1 \\ \frac{x^2 — y^2}{3} = 1 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 — y^2 = 10 \\ 2(x + y) = 5(x — y) \end{cases}$

Указание. а) Введите замену $x + y = a$; $x — y = b$.

а) $\begin{cases} x + y = 4(x — y) \\ x^2 — y^2 = 16 \end{cases}$

1) Пусть $a = x + y$ и $b = x — y$, тогда:

$\begin{cases} a = 4b \\ ab = 16 \end{cases} \Rightarrow 4b^2 = 16;$

$b^2 = 4, \text{ отсюда } b = \pm 2;$

$a_1 = 4 \cdot (-2) = -8$ и $a_2 = 4 \cdot 2 = 8;$

2) Первое решение:

$\begin{cases} x + y = -8 \\ x — y = -2 \end{cases}$

$x + x + y — y = -8 — 2;$

$2x = -10, \text{ отсюда } x = -5;$

$x — y = -2, \text{ отсюда } y = x + 2 = -5 + 2 = -3;$

3) Второе решение:

$\begin{cases} x + y = 8 \\ x — y = 2 \end{cases}$

$x + x + y — y = 8 + 2;$

$2x = 10, \text{ отсюда } x = 5;$

$x — y = 2, \text{ отсюда } y = x — 2 = 5 — 2 = 3;$

Ответ: $(-5; -3)$ и $(5; 3)$.

б) $\begin{cases} 2x — 2y = x + y \\ x^2 — y^2 = 8 \end{cases}$

1) Пусть $a = x + y$ и $b = x — y$, тогда:

$\begin{cases} 2b = a \\ ab = 8 \end{cases} \Rightarrow 2b^2 = 8;$

$b^2 = 4, \text{ отсюда } b = \pm 2;$

$a_1 = 2 \cdot (-2) = -4$ и $a_2 = 2 \cdot 2 = 4;$

2) Первое решение:

$\begin{cases} x + y = -4 \\ x — y = -2 \end{cases}$

$x + x + y — y = -4 — 2;$

$2x = -6, \text{ отсюда } x = -3;$

$x — y = -2, \text{ отсюда } y = x + 2 = -3 + 2 = -1;$

3) Второе решение:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ x — y = 2 \end{cases}$

$x + x + y — y = 4 + 2;$

$2x = 6, \text{ отсюда } x = 3;$

$x — y = 2, \text{ отсюда } y = x — 2 = 3 — 2 = 1;$

Ответ: $(3; 1)$ и $(-3; -1)$.

в) $\begin{cases} \frac{3(x — y)}{x + y} = 1 \\ \frac{x^2 — y^2}{3} = 1 \end{cases}$

1) Пусть $a = x + y$ и $b = x — y$, тогда:

$\begin{cases} 3b = a \\ ab = 3 \end{cases} \Rightarrow 3b^2 = 3;$

$b^2 = 1, \text{ отсюда } b = \pm 1;$

$a_1 = 3 \cdot (-1) = -3$ и $a_2 = 3 \cdot 1 = 3;$

2) Первое решение:

$\begin{cases} x + y = -3 \\ x — y = -1 \end{cases}$

$x + x + y — y = -3 — 1;$

$2x = -4, \text{ отсюда } x = -2;$

$x — y = -1, \text{ отсюда } y = x + 1 = -2 + 1 = -1;$

3) Второе решение:

$\begin{cases} x + y = 3 \\ x — y = 1 \end{cases}$

$x + x + y — y = 3 + 1;$

$2x = 4, \text{ отсюда } x = 2;$

$x — y = 1, \text{ отсюда } y = x — 1 = 2 — 1 = 1;$

Ответ: $(-2; -1)$ и $(2; 1)$.

г) $\begin{cases} x^2 — y^2 = 10 \\ 2(x + y) = 5(x — y) \end{cases}$

1) Пусть $a = x + y$ и $b = x — y$, тогда:

$\begin{cases} ab = 10 \\ 2a = 5b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} ab = 10 \\ a = 2,5b \end{cases} \Rightarrow 2,5b^2 = 10;$

$b^2 = 4, \text{ отсюда } b = \pm 2;$

$a_1 = 2,5 \cdot (-2) = -5$ и $a_2 = 2,5 \cdot 2 = 5;$

2) Первое решение:

$\begin{cases} x + y = -5 \\ x — y = -2 \end{cases}$

$x + x + y — y = -5 — 2;$

$2x = -7, \text{ отсюда } x = -3,5;$

$x — y = -2, \text{ отсюда } y = x + 2 = -3,5 + 2 = -1,5;$

3) Второе решение:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ x — y = 2 \end{cases}$

$x + x + y — y = 5 + 2;$

$2x = 7, \text{ отсюда } x = 3,5;$

$x — y = 2, \text{ отсюда } y = x — 2 = 3,5 — 2 = 1,5;$

Ответ: $(-3,5; -1,5)$ и $(3,5; 1,5)$.

а) $\begin{cases} x + y = 4(x — y) \\ x^2 — y^2 = 16 \end{cases}$

Используем выражения для $a = x + y$ и $b = x — y$, тогда из первого уравнения:

$$x + y = 4(x — y) \quad \Rightarrow \quad a = 4b.$$

Подставляем это в систему:

$$\begin{cases} a = 4b \\ ab = 16 \end{cases}$$

Подставим $a = 4b$ во второе уравнение:

$$4b \cdot b = 16 \quad \Rightarrow \quad 4b^2 = 16.$$

Разделим обе части на 4:

$$b^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad b = \pm 2.$$

Теперь подставим значения $b = \pm 2$ в выражение для $a$:

$$a_1 = 4 \cdot (-2) = -8, \quad a_2 = 4 \cdot 2 = 8.$$

Подставим значения $a$ и $b$ обратно в систему:

Для первого случая $a = -8$ и $b = -2$:

$$\begin{cases} x + y = -8 \\ x — y = -2 \end{cases}$$

Складываем оба уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = -8 — 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = -10 \quad \Rightarrow \quad x = -5.$$

Теперь подставим $x = -5$ в $x + y = -8$:

$$-5 + y = -8 \quad \Rightarrow \quad y = -3.$$

Ответ: $(-5; -3)$.

Для второго случая $a = 8$ и $b = 2$:

$$\begin{cases} x + y = 8 \\ x — y = 2 \end{cases}$$

Складываем оба уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = 8 + 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 5.$$

Теперь подставим $x = 5$ в $x + y = 8$:

$$5 + y = 8 \quad \Rightarrow \quad y = 3.$$

Ответ: $(5; 3)$.

Ответ: $(-5; -3)$ и $(5; 3)$.

б) $\begin{cases} 2x — 2y = x + y \\ x^2 — y^2 = 8 \end{cases}$

Пусть $a = x + y$ и $b = x — y$, тогда из первого уравнения:

$$2b = a \quad \Rightarrow \quad a = 2b.$$

Подставляем это в систему:

$$\begin{cases} a = 2b \\ ab = 8 \end{cases}$$

Подставим $a = 2b$ во второе уравнение:

$$2b \cdot b = 8 \quad \Rightarrow \quad 2b^2 = 8.$$

Разделим обе части на 2:

$$b^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad b = \pm 2.$$

Теперь подставим значения $b = \pm 2$ в выражение для $a$:

$$a_1 = 2 \cdot (-2) = -4, \quad a_2 = 2 \cdot 2 = 4.$$

Подставим значения $a$ и $b$ обратно в систему:

Для первого случая $a = -4$ и $b = -2$:

$$\begin{cases} x + y = -4 \\ x — y = -2 \end{cases}$$

Складываем оба уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = -4 — 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = -3.$$

Теперь подставим $x = -3$ в $x + y = -4$:

$$-3 + y = -4 \quad \Rightarrow \quad y = -1.$$

Ответ: $(-3; -1)$.

Для второго случая $a = 4$ и $b = 2$:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x — y = 2 \end{cases}$$

Складываем оба уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = 4 + 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3.$$

Теперь подставим $x = 3$ в $x + y = 4$:

$$3 + y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 1.$$

Ответ: $(3; 1)$.

Ответ: $(-3; -1)$ и $(3; 1)$.

в) $\begin{cases} \frac{3(x — y)}{x + y} = 1 \\ \frac{x^2 — y^2}{3} = 1 \end{cases}$

Пусть $a = x + y$ и $b = x — y$, тогда из первого уравнения:

$$3b = a \quad \Rightarrow \quad a = 3b.$$

Подставляем это в систему:

$$\begin{cases} a = 3b \\ ab = 3 \end{cases}$$

Подставим $a = 3b$ во второе уравнение:

$$3b \cdot b = 3 \quad \Rightarrow \quad 3b^2 = 3.$$

Разделим обе части на 3:

$$b^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad b = \pm 1.$$

Теперь подставим значения $b = \pm 1$ в выражение для $a$:

$$a_1 = 3 \cdot (-1) = -3, \quad a_2 = 3 \cdot 1 = 3.$$

Подставим значения $a$ и $b$ обратно в систему:

Для первого случая $a = -3$ и $b = -1$:

$$\begin{cases} x + y = -3 \\ x — y = -1 \end{cases}$$

Складываем оба уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = -3 — 1 \quad \Rightarrow \quad 2x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -2.$$

Теперь подставим $x = -2$ в $x + y = -3$:

$$-2 + y = -3 \quad \Rightarrow \quad y = -1.$$

Ответ: $(-2; -1)$.

Для второго случая $a = 3$ и $b = 1$:

$$\begin{cases} x + y = 3 \\ x — y = 1 \end{cases}$$

Складываем оба уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = 3 + 1 \quad \Rightarrow \quad 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2.$$

Теперь подставим $x = 2$ в $x + y = 3$:

$$2 + y = 3 \quad \Rightarrow \quad y = 1.$$

Ответ: $(2; 1)$.

Ответ: $(-2; -1)$ и $(2; 1)$.

г) $\begin{cases} x^2 — y^2 = 10 \\ 2(x + y) = 5(x — y) \end{cases}$

Пусть $a = x + y$ и $b = x — y$, тогда из второго уравнения:

$$2a = 5b \quad \Rightarrow \quad a = 2.5b.$$

Подставляем это в систему:

$$\begin{cases} ab = 10 \\ a = 2.5b \end{cases}$$

Подставим $a = 2.5b$ в первое уравнение:

$$2.5b \cdot b = 10 \quad \Rightarrow \quad 2.5b^2 = 10.$$

Разделим обе части на 2.5:

$$b^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad b = \pm 2.$$

Теперь подставим значения $b = \pm 2$ в выражение для $a$:

$$a_1 = 2.5 \cdot (-2) = -5, \quad a_2 = 2.5 \cdot 2 = 5.$$

Подставим значения $a$ и $b$ обратно в систему:

Для первого случая $a = -5$ и $b = -2$:

$$\begin{cases} x + y = -5 \\ x — y = -2 \end{cases}$$

Складываем оба уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = -5 — 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = -7 \quad \Rightarrow \quad x = -3.5.$$

Теперь подставим $x = -3.5$ в $x + y = -5$:

$$-3.5 + y = -5 \quad \Rightarrow \quad y = -1.5.$$

Ответ: $(-3.5; -1.5)$.

Для второго случая $a = 5$ и $b = 2$:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ x — y = 2 \end{cases}$$

Складываем оба уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = 5 + 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = 3.5.$$

Теперь подставим $x = 3.5$ в $x + y = 5$:

$$3.5 + y = 5 \quad \Rightarrow \quad y = 1.5.$$

Ответ: $(3.5; 1.5)$.

Ответ: $(-3.5; -1.5)$ и $(3.5; 1.5)$.