ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 460 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вернитесь к упражнению 448 и решите каждую систему, сведя её к системе линейных уравнений; для этого воспользуйтесь тем, что левые части одного из уравнений можно разложить на множители.

а) $\begin{cases} x^2 — y^2 = 21 \\ x + y = 3 \end{cases}$

$(x — y)(x + y) = 21 \Rightarrow \begin{cases} 3(x — y) = 21 \\ x + y = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x — y = 7 \\ x + y = 3 \end{cases}$

$x + x — y + y = 7 + 3;$

$2x = 10, \text{ отсюда } x = 5;$

$x + y = 3, \text{ отсюда } y = 3 — x;$

$y = 3 — 5 = -2;$

Ответ: $(5; -2)$.

б) $\begin{cases} x^2 — xy = 4 \\ x — y = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(x — y) = 4 \\ x — y = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 4 \\ x — y = 1 \end{cases}$

$x — y = 1, \text{ отсюда } y = x — 1 = 4 — 1 = 3;$

Ответ: $(4; 3)$.

в) $\begin{cases} x^2 — y^2 = 8 \\ 2x — 2y = -4 \end{cases}$

$(x — y)(x + y) = 8 \Rightarrow \begin{cases} -2(x + y) = 8 \\ x — y = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = -4 \\ x — y = -2 \end{cases}$

$x + x + y — y = -4 — 2;$

$2x = -6, \text{ отсюда } x = -3;$

$x + y = -4, \text{ отсюда } y = -4 — x;$

$y = -4 + 3 = -1;$

Ответ: $(-3; -1)$.

а) $\begin{cases} x^2 — y^2 = 21 \\ x + y = 3 \end{cases}$

Используем формулу разности квадратов для первого уравнения:

$$x^2 — y^2 = (x — y)(x + y).$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$(x — y)(x + y) = 21.$$

Подставим значение $x + y = 3$ во второе уравнение:

$$(x — y)(3) = 21.$$

Разделим обе части на 3:

$$x — y = \frac{21}{3} = 7.$$

Теперь у нас система:

$$\begin{cases} x — y = 7 \\ x + y = 3 \end{cases}.$$

Складываем оба уравнения:

$$(x + x) + (y — y) = 7 + 3.$$

Получаем:

$$2x = 10, \text{ отсюда } x = \frac{10}{2} = 5.$$

Подставим значение $x = 5$ в $x + y = 3$:

$$5 + y = 3 \quad \Rightarrow \quad y = 3 — 5 = -2.$$

Ответ: $(5; -2)$.

б) $\begin{cases} x^2 — xy = 4 \\ x — y = 1 \end{cases}$

Используем второе уравнение $x — y = 1$, выражаем $y$ через $x$:

$$y = x — 1.$$

Подставим $y = x — 1$ в первое уравнение:

$$x^2 — x(x — 1) = 4.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — (x^2 — x) = 4.$$

Упростим:

$$x^2 — x^2 + x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 4.$$

Подставим $x = 4$ в $y = x — 1$:

$$y = 4 — 1 = 3.$$

Ответ: $(4; 3)$.

в) $\begin{cases} x^2 — y^2 = 8 \\ 2x — 2y = -4 \end{cases}$

Используем формулу разности квадратов для первого уравнения:

$$x^2 — y^2 = (x — y)(x + y).$$

Уравнение примет вид:

$$(x — y)(x + y) = 8.$$

Поделим второе уравнение на 2:

$$x — y = -2.$$

Подставим $x — y = -2$ в уравнение $(x — y)(x + y) = 8$:

$$(-2)(x + y) = 8.$$

Разделим обе части на $-2$:

$$x + y = -4.$$

Теперь у нас система:

$$\begin{cases} x — y = -2 \\ x + y = -4 \end{cases}.$$

Складываем оба уравнения:

$$(x + x) + (y — y) = -2 + (-4).$$

Получаем:

$$2x = -6, \text{ отсюда } x = \frac{-6}{2} = -3.$$

Подставим значение $x = -3$ в $x + y = -4$:

$$-3 + y = -4 \quad \Rightarrow \quad y = -4 + 3 = -1.$$

Ответ: $(-3; -1)$.