ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 459 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Разберите начало решения системы уравнений:

$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ x + y = 9 \end{cases}$$

Решение.
Представим левую часть первого уравнения в виде дроби:

$$\begin{cases} \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{2} \\ x + y = 9 \end{cases}$$

Подставим в первое уравнение системы значение $x + y$:

$$\begin{cases} \frac{9}{xy} = \frac{1}{2} \\ x + y = 9 \end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение с помощью основного свойства пропорции:

$$\begin{cases} xy = 18 \\ x + y = 9 \end{cases}$$

Далее воспользуемся способом подстановки. Доведите решение системы до конца.

2) Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \\ x + y = 8 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x — y = 20 \\ \frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{4}{15} \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ xy = -2 \end{cases}$

1) $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\\ x+y=9\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}\\ x+y=9\end{array}$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ x + y = 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{2} \\ x + y = 9 \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{9}{xy} = \frac{1}{2} \\ x + y = 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = 18 \\ x + y = 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = 18 \\ y = 9 — x \end{cases}$

$x(9 — x) = 18;$

$9x — x^2 — 18 = 0 \quad | \cdot (-1);$

$x^2 — 9x + 18 = 0;$

$D = 9^2 — 4 \cdot 18 = 81 — 72 = 9;$

тогда:

$x_1 = \frac{9 — 3}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{9 + 3}{2} = 6;$

$y_1 = 9 — 3 = 6$ и $y_2 = 9 — 6 = 3;$

Ответ: $(3; 6)$ и $(6; 3)$.

2)

а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \\ x + y = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{x + y}{xy} = \frac{2}{3} \\ x + y = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = 12 \\ x + y = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = 12 \\ y = 8 — x \end{cases}$

$x(8 — x) = 12;$

$8x — x^2 — 12 = 0 \quad | \cdot (-1);$

$x^2 — 8x + 12 = 0;$

$D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16;$

тогда:

$x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6;$

$y_1 = 8 — 2 = 6$ и $y_2 = 8 — 6 = 2;$

Ответ: $(2; 6)$ и $(6; 2)$.

б) $\begin{cases} x — y = 20 \\ \frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{4}{15} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x — y = 20 \\ \frac{y — x}{xy} = \frac{4}{15} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x — y = 20 \\ \frac{-20}{xy} = \frac{4}{15} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x — y = 20 \\ xy = -75 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x — y = 20 \\ y = x — 20 \end{cases}$

$x(x — 20) = -75;$

$x^2 — 20x + 75 = 0;$

$D = 20^2 — 4 \cdot 75 = 400 — 300 = 100;$

тогда:

$x_1 = \frac{20 — 10}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{20 + 10}{2} = 15;$

$y_1 = 5 — 20 = -15$ и $y_2 = 15 — 20 = -5;$

Ответ: $(5; -15)$ и $(15; -5)$.

в) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ xy = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{2} \\ xy = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = -1 \\ xy = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -x — 1 \\ xy = -2 \end{cases}$

$x(-x — 1) = -2;$

$-x^2 — x + 2 = 0 \quad | \cdot (-1);$

$x^2 + x — 2 = 0;$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9;$

тогда:

$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$

$y_1 = 2 — 1 = 1$ и $y_2 = -1 — 1 = -2;$

Ответ: $(-2; 1)$ и $(1; -2)$.

1) $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\\ x+y=9\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}\\ x+y=9\end{array}$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ x + y = 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{2} \\ x + y = 9 \end{cases}$

$\frac{9}{xy} = \frac{1}{2} \Rightarrow xy = 18$

Подставляем это значение в систему уравнений:

$\begin{cases} xy = 18 \\ x + y = 9 \end{cases} \Rightarrow y = 9 — x$

Теперь подставим $y = 9 — x$ в уравнение $xy = 18$:

$x(9 — x) = 18$

Раскроем скобки:

$9x — x^2 = 18$

Переносим все члены в одну сторону:

$-x^2 + 9x — 18 = 0$

Умножим обе части на $-1$ для удобства:

$x^2 — 9x + 18 = 0$

Рассчитаем дискриминант для уравнения $x^2 — 9x + 18 = 0$:

$D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 — 72 = 9$

Теперь найдем корни уравнения с использованием формулы:

$x_1 = \frac{-(-9) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 — 3}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 3}{2} = 6$

Теперь найдем значения $y$:

Для $x_1 = 3$: $y_1 = 9 — 3 = 6$

Для $x_2 = 6$: $y_2 = 9 — 6 = 3$

Ответ: $(3; 6)$ и $(6; 3)$.

2)

а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \\ x + y = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{x + y}{xy} = \frac{2}{3} \\ x + y = 8 \end{cases}$

Подставляем $x + y = 8$ в уравнение $\frac{x + y}{xy} = \frac{2}{3}$:

$\frac{8}{xy} = \frac{2}{3} \Rightarrow xy = 12$

Теперь подставим $xy = 12$ и $x + y = 8$ в систему:

$\begin{cases} xy = 12 \\ x + y = 8 \end{cases} \Rightarrow y = 8 — x$

Подставим $y = 8 — x$ в уравнение $xy = 12$:

$x(8 — x) = 12$

Раскроем скобки:

$8x — x^2 = 12$

Переносим все члены в одну сторону:

$-x^2 + 8x — 12 = 0$

Умножим обе части на $-1$:

$x^2 — 8x + 12 = 0$

Рассчитаем дискриминант для уравнения $x^2 — 8x + 12 = 0$:

$D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{8 — \sqrt{16}}{2} = \frac{8 — 4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6$

Теперь найдем значения $y$:

Для $x_1 = 2$: $y_1 = 8 — 2 = 6$

Для $x_2 = 6$: $y_2 = 8 — 6 = 2$

Ответ: $(2; 6)$ и $(6; 2)$.

б) $\begin{cases} x — y = 20 \\ \frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{4}{15} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x — y = 20 \\ \frac{y — x}{xy} = \frac{4}{15} \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение:

$\frac{-20}{xy} = \frac{4}{15} \Rightarrow xy = -75$

Теперь подставим $xy = -75$ и $x — y = 20$ в систему:

$\begin{cases} x — y = 20 \\ xy = -75 \end{cases} \Rightarrow y = x — 20$

Подставим $y = x — 20$ в уравнение $xy = -75$:

$x(x — 20) = -75$

Раскроем скобки:

$x^2 — 20x + 75 = 0$

Рассчитаем дискриминант для уравнения $x^2 — 20x + 75 = 0$:

$D = 20^2 — 4 \cdot 1 \cdot 75 = 400 — 300 = 100$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{20 — \sqrt{100}}{2} = \frac{20 — 10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{20 + \sqrt{100}}{2} = \frac{20 + 10}{2} = 15$

Теперь найдем значения $y$:

Для $x_1 = 5$: $y_1 = 5 — 20 = -15$

Для $x_2 = 15$: $y_2 = 15 — 20 = -5$

Ответ: $(5; -15)$ и $(15; -5)$.

в) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ xy = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{2} \\ xy = -2 \end{cases}$

Подставляем $xy = -2$ в уравнение $\frac{x + y}{xy} = \frac{1}{2}$:

$\frac{x + y}{-2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x + y = -1$

Теперь подставим $x + y = -1$ и $xy = -2$ в систему:

$\begin{cases} x + y = -1 \\ xy = -2 \end{cases} \Rightarrow y = -x — 1$

Подставим $y = -x — 1$ в уравнение $xy = -2$:

$x(-x — 1) = -2$

Раскроем скобки:

$-x^2 — x + 2 = 0$

Умножим обе части на $-1$:

$x^2 + x — 2 = 0$

Рассчитаем дискриминант для уравнения $x^2 + x — 2 = 0$:

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 — 3}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

Теперь найдем значения $y$:

Для $x_1 = -2$: $y_1 = 2 — 1 = 1$

Для $x_2 = 1$: $y_2 = -1 — 1 = -2$

Ответ: $(-2; 1)$ и $(1; -2)$.