ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 458 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите способом подстановки систему уравнений:

а) $\begin{cases} y — x = 9 \\ \frac{10}{y} — \frac{4}{x} = 3 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1 \\ 3x — y = 2 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x — y = -1 \\ \frac{1}{x+2} + \frac{10}{y+2} = 1 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x — 3y = 5 \\ \frac{6}{x+1} — \frac{4}{y+3} = 3 \end{cases}$

а) $\begin{cases} y — x = 9 \\ \frac{10}{y} — \frac{4}{x} = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 9 + x \\ \frac{10}{9 + x} — \frac{4}{x} — 3 = 0 \end{cases}$

$\frac{10}{9 + x} — \frac{4}{x} — 3 = 0 \quad | \cdot x(9 + x);$

$10x — 4(9 + x) — 3x(9 + x) = 0;$

$10x — 36 — 4x — 27x — 3x^2 = 0;$

$-3x^2 — 21x — 36 = 0 \quad | : (-3);$

$x^2 + 7x + 12 = 0;$

$D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1;$

тогда:

$x_1 = \frac{-7 — 1}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-7 + 1}{2} = -3;$

$y_1 = 9 — 4 = 5$ и $y_2 = 9 — 3 = 6;$

Ответ: $(-4; 5)$ и $(-3; 6)$.

б) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1 \\ 3x — y = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} — 1 = 0 \\ y = 3x — 2 \end{cases}$

$\frac{1}{x} + \frac{2}{3x — 2} — 1 = 0 \quad | \cdot x(3x — 2);$

$3x — 2 + 2x — x(3x — 2) = 0;$

$5x — 2 — 3x^2 + 2x = 0;$

$-3x^2 + 7x — 2 = 0 \quad | \cdot (-1);$

$3x^2 — 7x + 2 = 0;$

$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25;$

тогда:

$x_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = 2;$

$y_1 = 3 \cdot \frac{1}{3} — 2 = -1$ и $y_2 = 3 \cdot 2 — 2 = 4;$

Ответ: $\left(\frac{1}{3}; -1\right)$ и $(2; 4)$.

в) $\begin{cases} 2x — y = -1 \\ \frac{1}{x+2} + \frac{10}{y+2} = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2x + 1 \\ \frac{1}{x+2} + \frac{10}{2x+1+2} — 1 = 0 \end{cases}$

$\frac{1}{x+2} + \frac{10}{2x+3} — 1 = 0 \quad | \cdot (x+2)(2x+3);$

$2x + 3 + 10(x + 2) — (x + 2)(2x + 3) = 0;$

$2x + 3 + 10x + 20 — 2x^2 — 3x — 4x — 6 = 0;$

$-2x^2 + 5x + 17 = 0 \quad | \cdot (-1);$

$2x^2 — 5x — 17 = 0;$

$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 17 = 25 + 136 = 161;$

тогда:

$x = \frac{5 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{161}}{4};$

$y = 2 \cdot \frac{5 \pm \sqrt{161}}{4} + 1 = \frac{10 \pm 2\sqrt{161} + 4}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{161}}{2};$

Ответ: $\left(\frac{5 + \sqrt{161}}{4}; \frac{7 + \sqrt{161}}{2}\right)$ и $\left(\frac{5 — \sqrt{161}}{4}; \frac{7 — \sqrt{161}}{2}\right)$.

г) $\begin{cases} x — 3y = 5 \\ \frac{6}{x+1} — \frac{4}{y+3} = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 5 + 3y \\ \frac{6}{5 + 3y + 1} — \frac{4}{y+3} — 3 = 0 \end{cases}$

$\frac{6}{5 + 3y + 1} — \frac{4}{y+3} — 3 = 0 \quad | \cdot (3y+6)(y+3);$

$6(y + 3) — 4(3y + 6) — 3(3y + 6)(y + 3) = 0;$

$6y + 18 — 12y — 24 — 3(3y^2 + 9y + 18) = 0;$

$-6y — 6 — 9y^2 — 27y — 54 = 0;$

$-9y^2 — 51y — 60 = 0 \quad | : (-3);$

$3y^2 + 17y + 20 = 0;$

$D = 17^2 — 4 \cdot 3 \cdot 20 = 289 — 240 = 49;$

тогда:

$y_1 = \frac{-17 — 7}{2 \cdot 3} = -4$ и $y_2 = \frac{-17 + 7}{2 \cdot 3} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3};$

$x_1 = 5 + 3 \cdot (-4) = -7$ и $x_2 = 5 + 3 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = 0;$

Ответ: $(-7; -4)$ и $\left(0; -\frac{5}{3}\right)$.

а) $\begin{cases} y — x = 9 \\ \frac{10}{y} — \frac{4}{x} = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 9 + x \\ \frac{10}{9 + x} — \frac{4}{x} — 3 = 0 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ в уравнение $\frac{10}{y} — \frac{4}{x} = 3$:

$$\frac{10}{9 + x} — \frac{4}{x} — 3 = 0.$$

Умножим обе части уравнения на $x(9 + x)$, чтобы избавиться от дробей:

$$x(9 + x) \left(\frac{10}{9 + x} — \frac{4}{x} — 3\right) = 0.$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$10x — 4(9 + x) — 3x(9 + x) = 0.$$

Раскроем все скобки:

$$10x — 36 — 4x — 27x — 3x^2 = 0.$$

Соберем все члены в одно уравнение:

$$-3x^2 — 21x — 36 = 0.$$

Разделим обе части на $-3$:

$$x^2 + 7x + 12 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант уравнения $x^2 + 7x + 12 = 0$:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1.$$

Найдем корни уравнения с помощью формулы для квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-7 — \sqrt{1}}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2} = -3.$$

Подставим значения $x$ в выражение для $y = 9 + x$:

Для $x_1 = -4$: $y_1 = 9 — 4 = 5$.

Для $x_2 = -3$: $y_2 = 9 — 3 = 6$.

Ответ: $(-4; 5)$ и $(-3; 6)$.

б) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1 \\ 3x — y = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} — 1 = 0 \\ y = 3x — 2 \end{cases}$

Подставим $y = 3x — 2$ в уравнение $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} — 1 = 0$:

$$\frac{1}{x} + \frac{2}{3x — 2} — 1 = 0.$$

Умножим обе части уравнения на $x(3x — 2)$ для избавления от дробей:

$$x(3x — 2) \left(\frac{1}{x} + \frac{2}{3x — 2} — 1\right) = 0.$$

Раскроем скобки:

$$3x — 2 + 2x — x(3x — 2) = 0.$$

Раскроем все скобки:

$$5x — 2 — 3x^2 + 2x = 0.$$

Соберем все члены в одно уравнение:

$$-3x^2 + 7x — 2 = 0.$$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$$3x^2 — 7x + 2 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант уравнения $3x^2 — 7x + 2 = 0$:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25.$$

Найдем корни уравнения с помощью формулы для квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{7 — \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = 2.$$

Подставим значения $x$ в выражение для $y = 3x — 2$:

Для $x_1 = \frac{1}{3}$: $y_1 = 3 \cdot \frac{1}{3} — 2 = -1$.

Для $x_2 = 2$: $y_2 = 3 \cdot 2 — 2 = 4$.

Ответ: $\left(\frac{1}{3}; -1\right)$ и $(2; 4)$.

в) $\begin{cases} 2x — y = -1 \\ \frac{1}{x+2} + \frac{10}{y+2} = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2x + 1 \\ \frac{1}{x+2} + \frac{10}{2x+1+2} — 1 = 0 \end{cases}$

Подставим $y = 2x + 1$ в уравнение $\frac{1}{x+2} + \frac{10}{2x+3} — 1 = 0$:

$$\frac{1}{x+2} + \frac{10}{2x+3} — 1 = 0.$$

Умножим обе части уравнения на $(x+2)(2x+3)$ для избавления от дробей:

$$(x+2)(2x+3) \left(\frac{1}{x+2} + \frac{10}{2x+3} — 1\right) = 0.$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$2x + 3 + 10(x + 2) — (x + 2)(2x + 3) = 0.$$

Раскроем все скобки:

$$2x + 3 + 10x + 20 — 2x^2 — 3x — 4x — 6 = 0.$$

Соберем все члены в одно уравнение:

$$-2x^2 + 5x + 17 = 0.$$

Умножим обе части на $-1$:

$$2x^2 — 5x — 17 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант уравнения $2x^2 — 5x — 17 = 0$:

$$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 17 = 25 + 136 = 161.$$

Найдем корни уравнения с помощью формулы для квадратного уравнения:

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{161}}{4}.$$

Подставим значения $x$ в выражение для $y = 2x + 1$:

Для $x_1 = \frac{5 + \sqrt{161}}{4}$: $y_1 = 2 \cdot \frac{5 + \sqrt{161}}{4} + 1 = \frac{7 + \sqrt{161}}{2}$.

Для $x_2 = \frac{5 — \sqrt{161}}{4}$: $y_2 = 2 \cdot \frac{5 — \sqrt{161}}{4} + 1 = \frac{7 — \sqrt{161}}{2}$.

Ответ: $\left(\frac{5 + \sqrt{161}}{4}; \frac{7 + \sqrt{161}}{2}\right)$ и $\left(\frac{5 — \sqrt{161}}{4}; \frac{7 — \sqrt{161}}{2}\right)$.

г) $\begin{cases} x — 3y = 5 \\ \frac{6}{x+1} — \frac{4}{y+3} = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 5 + 3y \\ \frac{6}{5 + 3y + 1} — \frac{4}{y+3} — 3 = 0 \end{cases}$

Подставим $x = 5 + 3y$ в уравнение $\frac{6}{x+1} — \frac{4}{y+3} = 3$:

$$\frac{6}{5 + 3y + 1} — \frac{4}{y+3} — 3 = 0.$$

Умножим обе части уравнения на $(3y+6)(y+3)$ для избавления от дробей:

$$(3y+6)(y+3) \left(\frac{6}{5 + 3y + 1} — \frac{4}{y+3} — 3\right) = 0.$$

Раскроем все скобки и упростим выражение:

$$6(y + 3) — 4(3y + 6) — 3(3y + 6)(y + 3) = 0.$$

Раскроем скобки и соберем все члены:

$$6y + 18 — 12y — 24 — 3(3y^2 + 9y + 18) = 0.$$

Упростим уравнение:

$$-6y — 6 — 9y^2 — 27y — 54 = 0.$$

Разделим обе части на $-3$:

$$3y^2 + 17y + 20 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант уравнения $3y^2 + 17y + 20 = 0$:

$$D = 17^2 — 4 \cdot 3 \cdot 20 = 289 — 240 = 49.$$

Найдем корни уравнения с помощью формулы для квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-17 — 7}{2 \cdot 3} = -4, \quad y_2 = \frac{-17 + 7}{2 \cdot 3} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}.$$

Подставим значения $y$ в выражение для $x = 5 + 3y$:

Для $y_1 = -4$: $x_1 = 5 + 3 \cdot (-4) = -7$.

Для $y_2 = -\frac{5}{3}$: $x_2 = 5 + 3 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = 0$.

Ответ: $(-7; -4)$ и $\left(0; -\frac{5}{3}\right)$.