ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 457 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений, воспользовавшись в качестве образца примером 4:

а) $\begin{cases} xy = -4 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ xy = -10 \end{cases}$

а) $\begin{cases} xy = -4 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -\frac{4}{x} \\ x^2 + y^2 — 8 = 0 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ в уравнение $x^2 + y^2 = 8$:

$$x^2 + \left(-\frac{4}{x}\right)^2 — 8 = 0.$$

Упростим выражение:

$$x^2 + \frac{16}{x^2} — 8 = 0.$$

Умножим обе части на $x^2$:

$$x^4 + 16 — 8x^2 = 0.$$

Перепишем уравнение:

$$x^4 — 8x^2 + 16 = 0.$$

Представим уравнение в виде полного квадрата:

$$(x^2 — 4)^2 = 0.$$

Извлечем корень:

$$x^2 — 4 = 0.$$

Решим уравнение:

$$(x — 2)(x + 2) = 0, \text{ тогда: }$$

$x_1 = 2$,

$x_2 = -2$.

Подставим значения $x$ в $y = -\frac{4}{x}$:

Для $x_1 = 2$: $y_1 = -\frac{4}{2} = -2$.

Для $x_2 = -2$: $y_2 = -\frac{4}{-2} = 2$.

Ответ: $(2; -2)$ и $(-2; 2)$.

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ xy = -10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 — 29 = 0 \\ y = -\frac{10}{x} \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ в уравнение $x^2 + y^2 = 29$:

$$x^2 + \left(-\frac{10}{x}\right)^2 — 29 = 0.$$

Упростим выражение:

$$x^2 + \frac{100}{x^2} — 29 = 0.$$

Умножим обе части на $x^2$:

$$x^4 + 100 — 29x^2 = 0.$$

Пусть $z = x^2$, тогда уравнение принимает вид:

$$z^2 — 29z + 100 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 29^2 — 4 \cdot 100 = 841 — 400 = 441 = 21^2.$$

Найдем корни:

$$z_1 = \frac{29 — 21}{2} = \frac{8}{2} = 4, \quad z_2 = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25.$$

Извлечем корни для $x$:

$$x_1 = \sqrt{4} = \pm 2, \quad x_2 = \sqrt{25} = \pm 5.$$

Подставим значения $x$ в $y = -\frac{10}{x}$:

Для $x_1 = 2$: $y_1 = -\frac{10}{2} = 5$.

Для $x_2 = -2$: $y_2 = -\frac{10}{-2} = -5$.

Для $x_3 = 5$: $y_3 = -\frac{10}{5} = 2$.

Для $x_4 = -5$: $y_4 = -\frac{10}{-5} = -2$.

Ответ: $(-2; 5)$, $(2; -5)$, $(-5; 2)$ и $(5; -2)$.

а) $\begin{cases} xy = -4 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -\frac{4}{x} \\ x^2 + y^2 — 8 = 0 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ в уравнение $x^2 + y^2 = 8$:

$$x^2 + \left(-\frac{4}{x}\right)^2 — 8 = 0.$$

Упростим выражение:

$$x^2 + \frac{16}{x^2} — 8 = 0.$$

Умножим обе части на $x^2$, чтобы избавиться от дробей:

$$x^4 + 16 — 8x^2 = 0.$$

Перепишем уравнение:

$$x^4 — 8x^2 + 16 = 0.$$

Представим уравнение в виде полного квадрата:

$$(x^2 — 4)^2 = 0.$$

Извлечем корень из обеих частей уравнения:

$$x^2 — 4 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$(x — 2)(x + 2) = 0.$$

Таким образом, получаем два значения для $x$:

$$x_1 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = -2.$$

Подставим полученные значения $x$ в выражение для $y = -\frac{4}{x}$:

Для $x_1 = 2$: $y_1 = -\frac{4}{2} = -2$.

Для $x_2 = -2$: $y_2 = -\frac{4}{-2} = 2$.

Ответ: $(2; -2)$ и $(-2; 2)$.

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ xy = -10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 — 29 = 0 \\ y = -\frac{10}{x} \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ в уравнение $x^2 + y^2 = 29$:

$$x^2 + \left(-\frac{10}{x}\right)^2 — 29 = 0.$$

Упростим выражение:

$$x^2 + \frac{100}{x^2} — 29 = 0.$$

Умножим обе части на $x^2$, чтобы избавиться от дробей:

$$x^4 + 100 — 29x^2 = 0.$$

Пусть $z = x^2$, тогда уравнение примет вид:

$$z^2 — 29z + 100 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант для уравнения $z^2 — 29z + 100 = 0$:

$$D = 29^2 — 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 — 400 = 441 = 21^2.$$

Найдем корни уравнения для $z$:

$$z_1 = \frac{29 — 21}{2} = \frac{8}{2} = 4, \quad z_2 = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25.$$

Поскольку $z = x^2$, получаем два возможных значения для $x$:

$$x_1 = \sqrt{4} = \pm 2, \quad x_2 = \sqrt{25} = \pm 5.$$

Подставим полученные значения $x$ в выражение для $y = -\frac{10}{x}$:

Для $x_1 = 2$: $y_1 = -\frac{10}{2} = 5$.

Для $x_2 = -2$: $y_2 = -\frac{10}{-2} = -5$.

Для $x_3 = 5$: $y_3 = -\frac{10}{5} = 2$.

Для $x_4 = -5$: $y_4 = -\frac{10}{-5} = -2$.

Ответ: $(-2; 5)$, $(2; -5)$, $(-5; 2)$ и $(5; -2)$.