ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 456 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений, воспользовавшись в качестве образца примером 3:

а) $\begin{cases} y + 2x = 0 \\ 2x^2 + y^2 — 6y = 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 10y^2 — 4x = x^2 — 8y \\ 3y — x = 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x — y = 3 \\ x^2 — xy — 2y^2 = 7 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y + x = -2 \\ x^2 + 3y^2 = 9 — xy \end{cases}$

д) $\begin{cases} x^2 — 5xy = 64 — 10y \\ 4y + x = 10 \end{cases}$

е) $\begin{cases} y + 2x = 1 \\ x^2 + xy + y^2 = 7 \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 2y = x^2 — 4x \\ 4y = 3x — 9 \end{cases}$

з) $\begin{cases} 3x^2 + 2x = 3y \\ 6y = 30 + 12x \end{cases}$

а) $\begin{cases} y + 2x = 0 \\ 2x^2 + y^2 — 6y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -2x \\ 2x^2 + y^2 — 6y = 0 \end{cases}$

$2x^2 + (-2x)^2 — 6(-2x) = 0;$

$2x^2 + 4x^2 + 12x = 0;$

$6x^2 + 12x = 0 \quad |: 6;$

$x^2 + 2x = 0;$

$x(x + 2) = 0, \text{ тогда: }$

$x_1 = 0;$

$x_2 + 2 = 0, \text{ отсюда } x_2 = -2;$

$y_1 = -2 \cdot 0 = 0;$

$y_2 = -2 \cdot (-2) = 4;$

Ответ: $(0; 0)$ и $(-2; 4)$.

б) $\begin{cases} 10y^2 — 4x = x^2 — 8y \\ 3y — x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 10y^2 — 4x — x^2 + 8y = 0 \\ x = 3y \end{cases}$

$10y^2 — 4 \cdot 3y — (3y)^2 + 8y = 0;$

$10y^2 — 12y — 9y^2 + 8y = 0;$

$y^2 — 4y = 0;$

$y(y — 4) = 0, \text{ тогда: }$

$y_1 = 0;$

$y_2 — 4 = 0, \text{ отсюда } y_2 = 4;$

$x_1 = 3 \cdot 0 = 0;$

$x_2 = 3 \cdot 4 = 12;$

Ответ: $(0; 0)$ и $(12; 4)$.

в) $\begin{cases} x — y = 3 \\ x^2 — xy — 2y^2 = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x — 3 \\ x^2 — xy — 2y^2 — 7 = 0 \end{cases}$

$x^2 — x(x — 3) — 2(x — 3)^2 — 7 = 0;$

$x^2 — x^2 + 3x — 2(x^2 — 6x + 9) — 7 = 0;$

$3x — 2x^2 + 12x — 18 — 7 = 0;$

$-2x^2 + 15x — 25 = 0;$

$D = 15^2 — 4 \cdot (-2) \cdot (-25) = 225 — 200 = 25;$

тогда:

$x_1 = \frac{-15 — 5}{2 \cdot (-2)} = 5$ и $x_2 = \frac{-15 + 5}{2 \cdot (-2)} = \frac{-10}{-4} = 2,5;$

$y_1 = 5 — 3 = 2$ и $y_2 = 2,5 — 3 = -0,5;$

Ответ: $(5; 2)$ и $(2,5; -0,5)$.

г) $\begin{cases} y + x = -2 \\ x^2 + 3y^2 = 9 — xy \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -2 — x \\ x^2 + 3y^2 — 9 + xy = 0 \end{cases}$

$x^2 + 3(-2 — x)^2 — 9 + x(-2 — x) = 0;$

$x^2 + 3(4 + 4x + x^2) — 9 — 2x — x^2 = 0;$

$12 + 12x + 3x^2 — 9 — 2x — x^2 = 0;$

$3x^2 + 10x + 3 = 0;$

$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64;$

тогда:

$x_1 = \frac{-10 — 8}{2 \cdot 3} = -3$ и $x_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3};$

$y_1 = -2 + 3 = 1$ и $y_2 = -2 + \frac{1}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{5}{3};$

Ответ: $(-3; 1)$ и $\left(-\frac{1}{3}; -\frac{5}{3}\right)$.

д) $\begin{cases} x^2 — 5xy = 64 — 10y \\ 4y + x = 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 — 5xy — 64 + 10y = 0 \\ x = 10 — 4y \end{cases}$

$(10 — 4y)^2 — 5y(10 — 4y) — 64 + 10y = 0;$

$100 — 80y + 16y^2 — 50y + 20y^2 — 64 + 10y = 0;$

$36y^2 — 120y + 36 = 0 \quad |: 12;$

$3y^2 — 10y + 3 = 0;$

$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64;$

тогда:

$y_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $y_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = 3;$

$x_1 = 10 — 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{30}{3} — \frac{4}{3} = \frac{26}{3}$ и $x_2 = 10 — 4 \cdot 3 = -2;$

Ответ: $\left(8 \frac{2}{3}; \frac{1}{3}\right)$ и $(-2; 3)$.

е) $\begin{cases} y + 2x = 1 \\ x^2 + xy + y^2 = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 1 — 2x \\ x^2 + xy + y^2 — 7 = 0 \end{cases}$

$x^2 + x(1 — 2x) + (1 — 2x)^2 — 7 = 0;$

$x^2 + x — 2x^2 + 1 — 4x + 4x^2 — 7 = 0;$

$3x^2 — 3x — 6 = 0 \quad |: 3;$

$x^2 — x — 2 = 0;$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9;$

тогда:

$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$

$y_1 = 1 — 2 \cdot (-1) = 3$ и $y_2 = 1 — 2 \cdot 2 = -3;$

Ответ: $(-1; 3)$ и $(2; -3)$.

ж) $\begin{cases} 2y = x^2 — 4x \\ 4y = 3x — 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 0,5x^2 — 2x \\ 4y — 3x + 9 = 0 \end{cases}$

$4(0,5x^2 — 2x) — 3x + 9 = 0;$

$2x^2 — 8x — 3x + 9 = 0;$

$2x^2 — 11x + 9 = 0;$

$D = 11^2 — 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 — 72 = 49;$

тогда:

$x_1 = \frac{11 — 7}{2 \cdot 2} = 1$ и $x_2 = \frac{11 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4 \frac{1}{2};$

$y_1 = 0,5 \cdot 1^2 — 2 \cdot 1 = 0,5 — 2 = -1,5;$

$y_2 = 0,5 \cdot \left(4 \frac{1}{2}\right)^2 — 2 \cdot 4 \frac{1}{2} = 0,5 \cdot \frac{81}{4} — 9 = \frac{81}{8} — \frac{72}{8} = \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8};$

Ответ: $(1; -1,5)$ и $\left(4 \frac{1}{2}; 1 \frac{1}{8}\right)$.

з) $\begin{cases} 3x^2 + 2x = 3y \\ 6y = 30 + 12x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x^2 + 2x — 3y = 0 \\ y = 5 + 2x \end{cases}$

$3x^2 + 2x — 3(5 + 2x) = 0;$

$3x^2 + 2x — 15 — 6x = 0;$

$3x^2 — 4x — 15 = 0;$

$D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 15 = 16 + 180 = 196 = 14^2;$

тогда:

$x_1 = \frac{4 — 14}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$ и $x_2 = \frac{4 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3;$

$y_1 = 5 + 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = 5 — \frac{10}{3} = \frac{15}{3} — \frac{10}{3} = \frac{5}{3};$

$y_2 = 5 + 2 \cdot 3 = 5 + 6 = 11;$

Ответ: $\left(-\frac{5}{3}; \frac{5}{3}\right)$ и $(3; 11)$.

а) $\begin{cases} y + 2x = 0 \\ 2x^2 + y^2 — 6y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -2x \\ 2x^2 + y^2 — 6y = 0 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ в второе уравнение:

$$2x^2 + (-2x)^2 — 6(-2x) = 0.$$

Упростим выражение:

$$2x^2 + 4x^2 + 12x = 0.$$

Соберем похожие члены:

$$6x^2 + 12x = 0.$$

Разделим обе части на 6:

$$x^2 + 2x = 0.$$

Извлечем общий множитель:

$$x(x + 2) = 0.$$

Таким образом, $x = 0$ или $x = -2$.

Подставим значения $x$ в уравнение $y = -2x$:

Для $x_1 = 0$: $y_1 = -2 \cdot 0 = 0$.

Для $x_2 = -2$: $y_2 = -2 \cdot (-2) = 4$.

Ответ: $(0; 0)$ и $(-2; 4)$.

б) $\begin{cases} 10y^2 — 4x = x^2 — 8y \\ 3y — x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 10y^2 — 4x — x^2 + 8y = 0 \\ x = 3y \end{cases}$

Подставим $x = 3y$ в первое уравнение:

$$10y^2 — 4 \cdot 3y — (3y)^2 + 8y = 0.$$

Упростим выражение:

$$10y^2 — 12y — 9y^2 + 8y = 0.$$

Соберем похожие члены:

$$y^2 — 4y = 0.$$

Извлечем общий множитель:

$$y(y — 4) = 0.$$

Таким образом, $y = 0$ или $y = 4$.

Подставим значения $y$ в $x = 3y$:

Для $y_1 = 0$: $x_1 = 3 \cdot 0 = 0$.

Для $y_2 = 4$: $x_2 = 3 \cdot 4 = 12$.

Ответ: $(0; 0)$ и $(12; 4)$.

в) $\begin{cases} x — y = 3 \\ x^2 — xy — 2y^2 = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x — 3 \\ x^2 — xy — 2y^2 — 7 = 0 \end{cases}$

Подставим $y = x — 3$ в второе уравнение:

$$x^2 — x(x — 3) — 2(x — 3)^2 — 7 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — x^2 + 3x — 2(x^2 — 6x + 9) — 7 = 0.$$

Упростим выражение:

$$3x — 2x^2 + 12x — 18 — 7 = 0.$$

Соберем похожие члены:

$$-2x^2 + 15x — 25 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 15^2 — 4 \cdot (-2) \cdot (-25) = 225 — 200 = 25.$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-15 — 5}{2 \cdot (-2)} = 5, \quad x_2 = \frac{-15 + 5}{2 \cdot (-2)} = \frac{-10}{-4} = 2,5.$$

Подставим $x_1$ и $x_2$ в $y = x — 3$:

Для $x_1 = 5$: $y_1 = 5 — 3 = 2$.

Для $x_2 = 2,5$: $y_2 = 2,5 — 3 = -0,5$.

Ответ: $(5; 2)$ и $(2,5; -0,5)$.

г) $\begin{cases} y + x = -2 \\ x^2 + 3y^2 = 9 — xy \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -2 — x \\ x^2 + 3y^2 — 9 + xy = 0 \end{cases}$

Подставим $y = -2 — x$ в второе уравнение:

$$x^2 + 3(-2 — x)^2 — 9 + x(-2 — x) = 0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 3(4 + 4x + x^2) — 9 — 2x — x^2 = 0.$$

Упростим выражение:

$$12 + 12x + 3x^2 — 9 — 2x — x^2 = 0.$$

Соберем похожие члены:

$$3x^2 + 10x + 3 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64.$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-10 — 8}{2 \cdot 3} = -3, \quad x_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}.$$

Подставим $x_1$ и $x_2$ в $y = -2 — x$:

Для $x_1 = -3$: $y_1 = -2 + 3 = 1$.

Для $x_2 = -\frac{1}{3}$: $y_2 = -2 + \frac{1}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{5}{3}$.

Ответ: $(-3; 1)$ и $\left(-\frac{1}{3}; -\frac{5}{3}\right)$.

д) $\begin{cases} x^2 — 5xy = 64 — 10y \\ 4y + x = 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 — 5xy — 64 + 10y = 0 \\ x = 10 — 4y \end{cases}$

Подставим $x = 10 — 4y$ в первое уравнение:

$$(10 — 4y)^2 — 5y(10 — 4y) — 64 + 10y = 0.$$

Раскроем скобки:

$$100 — 80y + 16y^2 — 50y + 20y^2 — 64 + 10y = 0.$$

Упростим выражение:

$$36y^2 — 120y + 36 = 0.$$

Разделим обе части на 12:

$$3y^2 — 10y + 3 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64.$$

Найдем корни:

$$y_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = 3.$$

Подставим $y_1$ и $y_2$ в $x = 10 — 4y$:

Для $y_1 = \frac{1}{3}$: $x_1 = 10 — 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{30}{3} — \frac{4}{3} = \frac{26}{3}$.

Для $y_2 = 3$: $x_2 = 10 — 4 \cdot 3 = -2$.

Ответ: $\left(8 \frac{2}{3}; \frac{1}{3}\right)$ и $(-2; 3)$.

е) $\begin{cases} y + 2x = 1 \\ x^2 + xy + y^2 = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 1 — 2x \\ x^2 + xy + y^2 — 7 = 0 \end{cases}$

Подставим $y = 1 — 2x$ во второе уравнение:

$$x^2 + x(1 — 2x) + (1 — 2x)^2 — 7 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + x — 2x^2 + 1 — 4x + 4x^2 — 7 = 0.$$

Упростим выражение:

$$3x^2 — 3x — 6 = 0.$$

Разделим обе части на 3:

$$x^2 — x — 2 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9.$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2.$$

Подставим $x_1$ и $x_2$ в $y = 1 — 2x$:

Для $x_1 = -1$: $y_1 = 1 — 2 \cdot (-1) = 3$.

Для $x_2 = 2$: $y_2 = 1 — 2 \cdot 2 = -3$.

Ответ: $(-1; 3)$ и $(2; -3)$.

ж) $\begin{cases} 2y = x^2 — 4x \\ 4y = 3x — 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 0,5x^2 — 2x \\ 4y — 3x + 9 = 0 \end{cases}$

Подставим $y = 0,5x^2 — 2x$ во второе уравнение:

$$4(0,5x^2 — 2x) — 3x + 9 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$2x^2 — 8x — 3x + 9 = 0.$$

Упростим выражение:

$$2x^2 — 11x + 9 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 11^2 — 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 — 72 = 49.$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{11 — 7}{2 \cdot 2} = 1, \quad x_2 = \frac{11 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4 \frac{1}{2}.$$

Подставим $x_1$ и $x_2$ в $y = 0,5x^2 — 2x$:

Для $x_1 = 1$: $y_1 = 0,5 \cdot 1^2 — 2 \cdot 1 = 0,5 — 2 = -1,5$.

Для $x_2 = 4 \frac{1}{2}$: $y_2 = 0,5 \cdot \left(4 \frac{1}{2}\right)^2 — 2 \cdot 4 \frac{1}{2} = 0,5 \cdot \frac{81}{4} — 9 = \frac{81}{8} — \frac{72}{8} = \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8}$.

Ответ: $(1; -1,5)$ и $\left(4 \frac{1}{2}; 1 \frac{1}{8}\right)$.

з) $\begin{cases} 3x^2 + 2x = 3y \\ 6y = 30 + 12x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x^2 + 2x — 3y = 0 \\ y = 5 + 2x \end{cases}$

Подставим $y = 5 + 2x$ в первое уравнение:

$$3x^2 + 2x — 3(5 + 2x) = 0.$$

Раскроем скобки:

$$3x^2 + 2x — 15 — 6x = 0.$$

Упростим выражение:

$$3x^2 — 4x — 15 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 15 = 16 + 180 = 196 = 14^2.$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{4 — 14}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{4 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3.$$

Подставим $x_1$ и $x_2$ в $y = 5 + 2x$:

Для $x_1 = -\frac{5}{3}$: $y_1 = 5 + 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = 5 — \frac{10}{3} = \frac{15}{3} — \frac{10}{3} = \frac{5}{3}$.

Для $x_2 = 3$: $y_2 = 5 + 2 \cdot 3 = 5 + 6 = 11$.

Ответ: $\left(-\frac{5}{3}; \frac{5}{3}\right)$ и $(3; 11)$.