ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 451 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения параболы и прямой:

$\mathrm{а)\; y}=x^2-5\mathrm{x }$и $y=x-8$;

$\mathrm{б)\; y}=2x-6$ и $y=x^2-5$;

$\mathrm{в)\; y}=x^2-3x-\mathrm{10 }$и $y=2x+4$;

$\mathrm{г)\; y}=10x+\mathrm{1 }$и $y=x^2+4x+10$

д) у = $x^2$ + 4 и $y$ = -3$x^{}$.

$y = x^2 — 5x$ и $y = x — 8$:

$x^2 — 5x = x — 8$;

$x^2 — 5x — x + 8 = 0$;

$x^2 — 6x + 8 = 0$;

$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$, тогда: $x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$;

$y_1 = 2 — 8 = -6$ и $y_2 = 4 — 8 = -4$;

Ответ: $(2; -6)$ и $(4; -4)$.

б) $y = 2x — 6$ и $y = x^2 — 5$:

$2x — 6 = x^2 — 5$;

$x^2 — 2x — 5 + 6 = 0$;

$x^2 — 2x + 1 = 0$;

$(x — 1)^2 = 0$;

$x — 1 = 0$, отсюда$x = 1$;

$y = 1^2 — 5 = 1 — 5 = -4$;

Ответ: $(1; -4)$.

в) $y = x^2 — 3x — 10$ и $y = 2x + 4$:

$x^2 — 3x — 10 = 2x + 4$;

$x^2 — 3x — 10 — 4 = 0$;

$x^2 — 5x — 14 = 0$ ;

$D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81$, тогда: $x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$;

$y_1 = 2 \cdot (-2) + 4 = 0$ и $y_2 = 2 \cdot 7 + 4 = 18$;

Ответ: $(-2; 0)$ и $(7; 18)$.

г) $y = 10x + 1$ и $y = x^2 + 4x + 10$:

$10x + 1 = x^2 + 4x + 10$;

$x^2 + 4x — 10x + 10 — 1 = 0$;

$x^2 — 6x + 9 = 0$;

$(x — 3)^2 = 0$; $x — 3 = 0$, отсюда $x = 3$;

$y = 10 \cdot 3 + 1 = 30 + 1 = 31$;

Ответ: $(3; 31)$.

д) $y = x^2 + 4$ и $y = -3x$:

$x^2 + 4 = -3x$;

$x^2 + 3x + 4 = 0$;

$D = 3^2 — 4 \cdot 4 = 9 — 16 = -12$;

$D < 0$, значит корней нет;

Ответ: графики не пересекаются.

а) $y = x^2 — 5x$ и $y = x — 8$:

Составляем уравнение пересечения двух функций: $x^2 — 5x = x — 8$.

Переносим все члены в одну сторону: $x^2 — 5x — x + 8 = 0$.

Приводим подобные члены: $x^2 — 6x + 8 = 0$.

Вычисляем дискриминант: $D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$.

Так как $D > 0$, имеем два действительных корня.

Находим корни: $x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2$, $x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$.

Подставляем найденные значения в уравнение прямой

$y = x — 8$: для $x_1 = 2$, $y_1 = 2 — 8 = -6$;

для $x_2 = 4$, $y_2 = 4 — 8 = -4$.

Точки пересечения: $(2; -6)$ и $(4; -4)$.

б) $y = 2x — 6$ и $y = x^2 — 5$:

Составляем уравнение: $2x — 6 = x^2 — 5$.

Приводим все к одной стороне: $x^2 — 2x — 5 + 6 = 0$.

Упрощаем: $x^2 — 2x + 1 = 0$.

Замечаем, что это полный квадрат: $(x — 1)^2 = 0$.

Следовательно, корень один: $x = 1$.

Находим ординату точки пересечения: $y = 1^2 — 5 = -4$.

Точка пересечения: $(1; -4)$.

в) $y = x^2 — 3x — 10$ и $y = 2x + 4$:

Составляем уравнение: $x^2 — 3x — 10 = 2x + 4$.

Переносим члены: $x^2 — 3x — 10 — 2x — 4 = 0$.

Приводим подобные: $x^2 — 5x — 14 = 0$.

Вычисляем дискриминант: $D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.

Так как $D > 0$, корней два.

Находим корни: $x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2$, $x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$.

Подставляем в уравнение прямой $y = 2x + 4$:

для $x_1 = -2$, $y_1 = 2 \cdot (-2) + 4 = 0$;

для $x_2 = 7$, $y_2 = 2 \cdot 7 + 4 = 18$.

Точки пересечения: $(-2; 0)$ и $(7; 18)$.

г) $y = 10x + 1$ и $y = x^2 + 4x + 10$:

Составляем уравнение: $10x + 1 = x^2 + 4x + 10$.

Приводим все к одной стороне: $x^2 + 4x + 10 — 10x — 1 = 0$.

Упрощаем: $x^2 — 6x + 9 = 0$.

Это полный квадрат: $(x — 3)^2 = 0$.

Следовательно, один корень: $x = 3$.

Подставляем в уравнение прямой $y = 10x + 1$: $y = 10 \cdot 3 + 1 = 31$.

Точка пересечения: $(3; 31)$.

д) $y = x^2 + 4$ и $y = -3x$:

Составляем уравнение: $x^2 + 4 = -3x$.

Приводим к стандартному виду: $x^2 + 3x + 4 = 0$.

Находим дискриминант: $D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 — 16 = -7$ .

Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Следовательно, графики не имеют точек пересечения.