ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 449 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений способом сложения:

а) $\begin{cases} x^2 + y = 0 \\ 3x — y = 10 \end{cases}$

б) $\begin{cases} u^2 + v = -3 \\ u — 5v = -3 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2s^2 — t = 2 \\ 8 + 2t = 14 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 6x + 2y = 12 \\ 2x^2 — 3y = -7 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 3x^3 — z = 3 \\ 4x^3 — 2z = 6 \end{cases}$

е) $\begin{cases} 2y^2 + x = -2 \\ 2y^2 — 3x = 6 \end{cases}$

а) $\begin{cases} x^2 + y = 0 \\ 3x — y = 10 \end{cases}$
1) $x^2 + 3x + y — y = 0 + 10;$

$$x^2+3x=10;$$

$$x^2 + 3x = 10;$$ $$x^2+3x-10=0;$$

$$x^2 + 3x — 10 = 0;$$ $$D=3^2+4\cdot 10=9+40=49,\text{ тогда: }$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2;$$

2) $x^2 + y = 0, \text{ отсюда } y = -x^2;$

$$y_1 = -(-5)^2 = -25;$$ $$y_2 = -(2)^2 = -4;$$

Ответ: $(-5; -25)$ и $(2; -4)$.

б) $\begin{cases} u + v^2 = -3 \\ u — 5v = -3 \end{cases}$
1) $u — u + v^2 + 5v = -3 + 3;$

$$v^2+5v=0;$$

$$v^2 + 5v = 0;$$ $$v(v+5)=0,\text{ тогда: }$$

$$v(v + 5) = 0, \text{ тогда: }$$ $$v_1=0;$$

$$v_1 = 0;$$ $$v_2 + 5 = 0, \text{ отсюда } v_2 = -5;$$

2) $u — 5v = -3, \text{ отсюда } u = 5v — 3;$

$$u_1=5\cdot 0-3=-3;$$

$$u_1 = 5 \cdot 0 — 3 = -3;$$ $$u_2 = 5 \cdot (-5) — 3 = -25 — 3 = -28;$$

Ответ: $v = 0$ и $u = -3$; $v = -5$ и $u = -28$.

в) $\begin{cases} 2s^2 — t = 2 \\ s + 2t = 14 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4s^2 — 2t = 4 \\ s + 2t = 14 \end{cases}$
1) $4s^2 + s — 2t + 2t = 4 + 14;$

$$4s^2+s=18;$$

$$4s^2 + s = 18;$$ $$4s^2+s-18=0;$$

$$4s^2 + s — 18 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 4\cdot 18=1+288=289={17}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 18 = 1 + 288 = 289 = 17^2, \text{ тогда: }$$ $$s_1 = \frac{-1 — 17}{2 \cdot 4} = \frac{-18}{8} = -2 \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad s_2 = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2;$$

2) $s + 2t = 14, \text{ отсюда } t = \frac{14 — s}{2};$

$$t_1=\frac{1}{2}(14+2\cdot 1\frac{1}{4})=\frac{1}{2}\cdot 16\frac{1}{4}=8\frac{1}{8};$$

$$t_1 = \frac{1}{2}(14 + 2 \cdot 1 \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot 16 \frac{1}{4} = 8 \frac{1}{8};$$ $$t_2 = \frac{14 — 2}{2} = \frac{12}{2} = 6;$$

Ответ: $s = -2 \frac{1}{4}$ и $t = 8 \frac{1}{8}$; $s = 2$ и $t = 6$.

г) $\begin{cases} 3x — z = 3 \\ 4x^2 — 2z = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x — z = 3 \\ 2x^2 — z = 3 \end{cases}$
1) $3x — 2x^2 + z — z = 3 — 3;$

$$-2x^2+3x=0\mathrm{\mid }:(-2);$$

$$-2x^2 + 3x = 0 \quad | : (-2);$$ $$4x^2 — 6x = 0;$$

д). $\begin{cases} 6z + 2y = 12 \\ 2z^2 — 3y = -7 \end{cases} \quad | \cdot 3 \quad | \cdot 2 \quad => \quad \begin{cases} 18z + 6y = 36 \\ 4z^2 — 6y = -14 \end{cases};$

$18z + 4z^2 + 6y — 6y = 36 — 14;$

$4z^2 + 18z = 22;$

$4z^2 + 18z — 22 = 0 \quad | : 2;$

$2z^2 + 9z — 11 = 0;$

$D = 9^2 + 4 \cdot 2 \cdot 11 = 81 + 88 = 169,$ тогда:

$z_1 = \frac{-9 — \sqrt{13}}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = -5.5$ и $z_2 = \frac{-9 + \sqrt{13}}{2 \cdot 2} = 1;$

$6z + 2y = 12,$ отсюда $y = \frac{12 — 6z}{2} = 6 — 3z;$

$y_1 = 6 — 3 \cdot (-5.5) = 6 + 16.5 = 22.5;$

$y_2 = 6 — 3 \cdot 1 = 6 — 3 = 3;$

Ответ: $z = -5.5$ и $y = 22.5;$ $z = 1$ и $y = 3.$

е) $\begin{cases} 2y + x = -2 \\ 2y^2 — 3x = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6y + 3x = -6 \\ 2y^2 — 3x = 6 \end{cases}$
1) $6y + 2y^2 + 3x — 3x = -6 + 6;$

$$2y^2+6y=0;$$

$$2y^2 + 6y = 0;$$ $$y(y+3)=0,\text{ тогда: }$$

$$y(y + 3) = 0, \text{ тогда: }$$ $$y_1=0;$$

$$y_1 = 0;$$ $$y_2 + 3 = 0, \text{ отсюда } y_2 = -3;$$

2) $2y + x = -2, \text{ отсюда } x = -2 — 2y;$

$$x_1=-2-2\cdot 0=-2;$$

$$x_1 = -2 — 2 \cdot 0 = -2;$$ $$x_2 = -2 — 2 \cdot (-3) = -2 + 6 = 4;$$

Ответ: $(-2; 0)$ и $(4; -3)$.

а) $\begin{cases} x^2 + y = 0 \\ 3x — y = 10 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$$3x — (-x^2) = 10;$$

Упростим:

$$3x + x^2 = 10;$$

Переносим 10 на левую сторону:

$$x^2 + 3x — 10 = 0;$$

Находим дискриминант $D$:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49;$$

Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = 2;$$

Подставляем значения $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$ в уравнение $y = -x^2$:

$$y_1 = -(-5)^2 = -25 \quad \text{и} \quad y_2 = -(2)^2 = -4;$$

Ответ: $(-5; -25)$ и $(2; -4)$.

б) $\begin{cases} u + v^2 = -3 \\ u — 5v = -3 \end{cases}$

Подставим $u = -3 + 5v$ во второе уравнение:

$$(-3 + 5v) + v^2 = -3;$$

Упростим:

$$v^2 + 5v = 0;$$

Решим уравнение $v^2 + 5v = 0$ методом выделения общего множителя:

$$v(v + 5) = 0;$$

Получаем два корня:

$$v_1 = 0 \quad \text{и} \quad v_2 = -5;$$

Подставим $v_1 = 0$ и $v_2 = -5$ в выражение для $u$:

$$u_1 = -3 + 5 \cdot 0 = -3 \quad \text{и} \quad u_2 = -3 + 5 \cdot (-5) = -3 — 25 = -28;$$

Ответ: $v = 0$ и $u = -3$; $v = -5$ и $u = -28$.

в) $\begin{cases} 2s^2 — t = 2 \\ s + 2t = 14 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4s^2 — 2t = 4 \\ s + 2t = 14 \end{cases}$

Подставим выражение для $s$ во второе уравнение:

$$4s^2 + s — 2t + 2t = 4 + 14;$$

Упростим:

$$4s^2 + s = 18;$$

Переносим 18 на левую сторону:

$$4s^2 + s — 18 = 0;$$

Находим дискриминант $D$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-18) = 1 + 288 = 289;$$

Находим корни уравнения:

$$s_1 = \frac{-1 — \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 — 17}{8} = -2 \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad s_2 = \frac{-1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 17}{8} = 2;$$

Подставляем значения $s_1 = -2 \frac{1}{4}$ и $s_2 = 2$ в уравнение для $t$:

$$t_1=\frac{14-(-2\frac{1}{4})}{2}=\frac{14+2\frac{1}{4}}{2}=8\frac{1}{8};$$

$$t_1 = \frac{14 — (-2 \frac{1}{4})}{2} = \frac{14 + 2 \frac{1}{4}}{2} = 8 \frac{1}{8};$$ $$t_2 = \frac{14 — 2}{2} = 6;$$

Ответ: $s = -2 \frac{1}{4}$ и $t = 8 \frac{1}{8}$; $s = 2$ и $t = 6$.

г) $\begin{cases} 3x — z = 3 \\ 4x^2 — 2z = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x — z = 3 \\ 2x^2 — z = 3 \end{cases}$

Подставим $z = 3x — 3$ во второе уравнение:

$$3x — 2x^2 + z — z = 3 — 3;$$

Упростим:

$$-2x^2 + 3x = 0 \quad | : (-2);$$

Разделим на $-2$:

$$4x^2 — 6x = 0;$$

д). $\begin{cases} 6z + 2y = 12 \\ 2z^2 — 3y = -7 \end{cases} \quad | \cdot 3 \quad | \cdot 2 \quad => \quad \begin{cases} 18z + 6y = 36 \\ 4z^2 — 6y = -14 \end{cases};$

Умножим первое уравнение на 3 и второе на 2:

$$18z+6y=36;$$

$$18z + 6y = 36;$$ $$4z^2 — 6y = -14;$$

Сложим оба уравнения:

$$18z + 4z^2 + 6y — 6y = 36 — 14;$$

Упростим выражение:

$$4z^2 + 18z = 22;$$

Переносим все на одну сторону:

$$4z^2 + 18z — 22 = 0 \quad | : 2;$$

Разделим на 2:

$$2z^2 + 9z — 11 = 0;$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169, \text{ тогда: }$$

Найдем корни уравнения:

$$z_1=\frac{-9-\sqrt{169}}{2\cdot 2}=\frac{-9-13}{4}=\frac{-22}{4}=-5.5;$$

$$z_1 = \frac{-9 — \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 — 13}{4} = \frac{-22}{4} = -5.5;$$ $$z_2 = \frac{-9 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 13}{4} = \frac{4}{4} = 1;$$

Подставим найденные значения $z_1 = -5.5$ и $z_2 = 1$ в уравнение для $y$:

$$y_1=6-3\cdot (-5.5)=6+16.5=22.5;$$

$$y_1 = 6 — 3 \cdot (-5.5) = 6 + 16.5 = 22.5;$$ $$y_2 = 6 — 3 \cdot 1 = 6 — 3 = 3;$$

Ответ: $z = -5.5$ и $y = 22.5;$ $z = 1$ и $y = 3.$

е) $\begin{cases} 2y + x = -2 \\ 2y^2 — 3x = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6y + 3x = -6 \\ 2y^2 — 3x = 6 \end{cases}$

Подставим выражение для $x = -2 — 2y$ в первое уравнение:

$$6y + 2y^2 + 3x — 3x = -6 + 6;$$

Упростим:

$$2y^2 + 6y = 0;$$

Выделим общий множитель:

$$y(y + 3) = 0, \text{ тогда: }$$

Находим корни:

$$y_1 = 0 \quad \text{и} \quad y_2 = -3;$$

Подставляем значения $y_1 = 0$ и $y_2 = -3$ в выражение для $x$:

$$x_1=-2-2\cdot 0=-2;$$

$$x_1 = -2 — 2 \cdot 0 = -2;$$ $$x_2 = -2 — 2 \cdot (-3) = -2 + 6 = 4;$$

Ответ: $(-2; 0)$ и $(4; -3)$.