ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 447 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x — y = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 101 \\ x + y = 11 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 — 2xy = 40 \\ x — y = 1 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2x — y = 9 \\ x^2 — y^2 = 15 \end{cases}$

д) $\begin{cases} x^2 — xy = 10 \\ 3x + y = 3 \end{cases}$

е) $\begin{cases} x^2 — y^2 = 64 \\ 3x + 5y = 0 \end{cases}$

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x — y = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 — 5 = 0 \\ x = 1 + y \end{cases};$

$$(1+y{)}^2+y^2-5=0;$$

$$(1 + y)^2 + y^2 — 5 = 0;$$ $$y^2+2y+1+y^2-5=0;$$

$$y^2 + 2y + 1 + y^2 — 5 = 0;$$ $$2y^2+2y-4=0\mathrm{\mid }:2;$$

$$2y^2 + 2y — 4 = 0 \quad | : 2;$$ $$y^2+y-2=0;$$

$$y^2 + y — 2 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{ тогда: }$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$y_1=\frac{-1-3}{2}=-2\text{и}{y}_2=\frac{-1+3}{2}=1;$$

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$ $$x_1 = 1 — 2 = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = 1 + 1 = 2;$$

Ответ: $(-1; -2)$ и $(2; 1)$.

б) $\begin{cases} 2x — y = 9 \\ x^2 — y^2 = 15 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2x — 9 \\ x^2 — y^2 — 15 = 0 \end{cases};$

$$x^2-(2x-9{)}^2-15=0;$$

$$x^2 — (2x — 9)^2 — 15 = 0;$$ $$x^2-4x^2+36x-81-15=0;$$

$$x^2 — 4x^2 + 36x — 81 — 15 = 0;$$ $$-3x^2+36x-96=0\mathrm{\mid }:(-3);$$

$$-3x^2 + 36x — 96 = 0 \quad | : (-3);$$ $$x^2-12x+32=0;$$

$$x^2 — 12x + 32 = 0;$$ $$D={12}^2-4\cdot 32=144-128=16,\text{ тогда: }$$

$$D = 12^2 — 4 \cdot 32 = 144 — 128 = 16, \text{ тогда: }$$ $$x_1=\frac{12-4}{2}=4\text{и}{x}_2=\frac{12+4}{2}=8;$$

$$x_1 = \frac{12 — 4}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{12 + 4}{2} = 8;$$ $$y_1 = 2 \cdot 4 — 9 = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = 2 \cdot 8 — 9 = 7;$$

Ответ: $(4; -1)$ и $(8; 7)$.

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 101 \\ x + y = 11 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 — 101 = 0 \\ y = 11 — x \end{cases};$

$$x^2+(11-x{)}^2-101=0;$$

$$x^2 + (11 — x)^2 — 101 = 0;$$ $$x^2+121-22x+x^2-101=0;$$

$$x^2 + 121 — 22x + x^2 — 101 = 0;$$ $$2x^2-22x+20=0\mathrm{\mid }:2;$$

$$2x^2 — 22x + 20 = 0 \quad | : 2;$$ $$x^2-11x+10=0;$$

$$x^2 — 11x + 10 = 0;$$ $$D={11}^2-4\cdot 10=121-40=81,\text{ тогда: }$$

$$D = 11^2 — 4 \cdot 10 = 121 — 40 = 81, \text{ тогда: }$$ $$x_1=\frac{11-9}{2}=1\text{и}{x}_2=\frac{11+9}{2}=10;$$

$$x_1 = \frac{11 — 9}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{11 + 9}{2} = 10;$$ $$y_1 = 11 — 1 = 10 \quad \text{и} \quad y_2 = 11 — 10 = 1;$$

Ответ: $(10; 1)$ и $(1; 10)$.

г) $\begin{cases} x^2 — xy = 10 \\ 3x + y = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 — xy — 10 = 0 \\ y = 3 — 3x \end{cases};$

$$x^2-x(3-3x)-10=0;$$

$$x^2 — x(3 — 3x) — 10 = 0;$$ $$x^2-3x+3x^2-10=0;$$

$$x^2 — 3x + 3x^2 — 10 = 0;$$ $$4x^2-3x-10=0;$$

$$4x^2 — 3x — 10 = 0;$$ $$D=3^2+4\cdot 4\cdot 10=9+160=169,\text{ тогда: }$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 4 \cdot 10 = 9 + 160 = 169, \text{ тогда: }$$ $$x_1=\frac{3-13}{2\cdot 4}=-\frac{10}{8}=-1,25\text{и}{x}_2=\frac{3+13}{2\cdot 4}=\frac{16}{8}=2;$$

$$x_1 = \frac{3 — 13}{2 \cdot 4} = -\frac{10}{8} = -1,25 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2;$$ $$y_1 = 3 — 3 \cdot (-1,25) = 6,75 \quad \text{и} \quad y_2 = 3 — 3 \cdot 2 = -3;$$

Ответ: $(-1,25; 6,75)$ и $(2; -3)$.

д) $\begin{cases} x — y = 1 \\ x^2 + 2xy = 40 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + 2xy — 40 = 0 \\ y = x — 1 \end{cases};$

$$x^2+2x(x-1)-40=0;$$

$$x^2 + 2x(x — 1) — 40 = 0;$$ $$x^2+2x^2-2x-40=0;$$

$$x^2 + 2x^2 — 2x — 40 = 0;$$ $$3x^2-2x-40=0;$$

$$3x^2 — 2x — 40 = 0;$$ $$D=2^2+4\cdot 3\cdot 40=4+480=484={22}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 40 = 4 + 480 = 484 = 22^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1=\frac{2-22}{2\cdot 3}=-\frac{20}{6}=-3\frac{1}{3}\text{и}{x}_2=\frac{2+22}{2\cdot 3}=\frac{24}{6}=4;$$

$$x_1 = \frac{2 — 22}{2 \cdot 3} = -\frac{20}{6} = -3 \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4;$$ $$y_1 = -3 \frac{1}{3} — 1 = -4 \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = 4 — 1 = 3;$$

Ответ: $\left(-3 \frac{1}{3}; -4 \frac{1}{3}\right)$ и $(4; 3)$.

е) $\begin{cases} x^2 — y^2 = 64 \\ 3x + 5y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 — y^2 — 64 = 0 \\ y = -\frac{3}{5}x \end{cases};$

$$x^2 — \left(-\frac{3}{5}x\right)^2 = 64;$$ $$x^2 — \frac{9}{25}x^2 = 64;$$ $$\frac{16}{25}x^2 = 64 \quad | : 16;$$ $$\frac{x^2}{25}=4;$$

$$\frac{x^2}{25} = 4;$$ $$x^2=4\cdot 25;$$

$$x^2 = 4 \cdot 25;$$ $$x^2=100,\text{ отсюда }x=\pm 10;$$

$$x^2 = 100, \text{ отсюда } x = \pm 10;$$ $$y = -\frac{3}{5} \cdot (\pm 10) = \pm \frac{30}{5} = \pm 6;$$

Ответ: $(10; -6)$ и $(-10; 6)$.

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x — y = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 — 5 = 0 \\ x = 1 + y \end{cases};$

Подставим выражение для $x = 1 + y$ во второе уравнение:

$$(1 + y)^2 + y^2 — 5 = 0$$

Раскроем скобки и упростим:

$$1 + 2y + y^2 + y^2 — 5 = 0$$ $$2y^2 + 2y — 4 = 0$$

Разделим на 2 для упрощения:

$$y^2 + y — 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение $y^2 + y — 2 = 0$ с использованием дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Так как дискриминант $D = 9$, находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Подставим значения $y_1 = -2$ и $y_2 = 1$ обратно в выражение для $x$:

$$x_1 = 1 — 2 = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = 1 + 1 = 2$$

Ответ: $(-1; -2)$ и $(2; 1)$.

б) $\begin{cases} 2x — y = 9 \\ x^2 — y^2 = 15 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2x — 9 \\ x^2 — y^2 — 15 = 0 \end{cases};$

Подставим выражение для $y = 2x — 9$ в второе уравнение:

$$x^2 — (2x — 9)^2 — 15 = 0$$

Раскроем скобки и упростим:

$$x^2 — (4x^2 — 36x + 81) — 15 = 0$$ $$x^2 — 4x^2 + 36x — 81 — 15 = 0$$

Приведем подобные и упростим:

$$-3x^2 + 36x — 96 = 0$$

Разделим на $-3$ для упрощения:

$$x^2 — 12x + 32 = 0$$

Используем дискриминант для нахождения корней:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 — 128 = 16$$

Так как дискриминант $D = 16$, находим корни:

$$x_1 = \frac{12 — 4}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{12 + 4}{2} = 8$$

Подставим значения $x_1 = 4$ и $x_2 = 8$ обратно в выражение для $y$:

$$y_1 = 2 \cdot 4 — 9 = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = 2 \cdot 8 — 9 = 7$$

Ответ: $(4; -1)$ и $(8; 7)$.

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 101 \\ x + y = 11 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 — 101 = 0 \\ y = 11 — x \end{cases};$

Подставим выражение для $y = 11 — x$ во второе уравнение:

$$x^2 + (11 — x)^2 — 101 = 0$$

Раскроем скобки и упростим:

$$x^2 + 121 — 22x + x^2 — 101 = 0$$ $$2x^2 — 22x + 20 = 0$$

Разделим на 2 для упрощения:

$$x^2 — 11x + 10 = 0$$

Используем дискриминант для нахождения корней:

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 — 40 = 81$$

Так как дискриминант $D = 81$, находим корни:

$$x_1 = \frac{11 — 9}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{11 + 9}{2} = 10$$

Подставим значения $x_1 = 1$ и $x_2 = 10$ обратно в выражение для $y$:

$$y_1 = 11 — 1 = 10 \quad \text{и} \quad y_2 = 11 — 10 = 1$$

Ответ: $(10; 1)$ и $(1; 10)$.

г) $\begin{cases} x^2 — xy = 10 \\ 3x + y = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 — xy — 10 = 0 \\ y = 3 — 3x \end{cases};$

Подставим выражение для $y = 3 — 3x$ в первое уравнение:

$$x^2 — x(3 — 3x) — 10 = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — 3x + 3x^2 — 10 = 0$$

Приведем подобные:

$$4x^2 — 3x — 10 = 0$$

Используем дискриминант для нахождения корней:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-10) = 9 + 160 = 169$$

Так как дискриминант $D = 169$, находим корни:

$$x_1 = \frac{-3 — 13}{2 \cdot 4} = -\frac{16}{8} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = 1.25$$

Подставим значения $x_1 = -2$ и $x_2 = 1.25$ обратно в выражение для $y$:

$$y_1 = 3 — 3 \cdot (-2) = 9 \quad \text{и} \quad y_2 = 3 — 3 \cdot 1.25 = -0.75$$

Ответ: $(-2; 9)$ и $(1.25; -0.75)$.

д) $\begin{cases} x — y = 1 \\ x^2 + 2xy = 40 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + 2xy — 40 = 0 \\ y = x — 1 \end{cases};$

Подставим выражение для $y = x — 1$ в первое уравнение:

$$x^2 + 2x(x — 1) — 40 = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 2x^2 — 2x — 40 = 0$$

Приведем подобные:

$$3x^2 — 2x — 40 = 0$$

Используем дискриминант для нахождения корней:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 4 + 480 = 484$$

Так как дискриминант $D = 484$, находим корни:

$$x_1 = \frac{2 — 22}{2 \cdot 3} = -\frac{20}{6} = -3.33 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$$

Подставим значения $x_1 = -3.33$ и $x_2 = 4$ обратно в выражение для $y$:

$$y_1 = -3.33 — 1 = -4.33 \quad \text{и} \quad y_2 = 4 — 1 = 3$$

Ответ: $(-3.33; -4.33)$ и $(4; 3)$.

е) $\begin{cases} x^2 — y^2 = 64 \\ 3x + 5y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 — y^2 — 64 = 0 \\ y = -\frac{3}{5}x \end{cases};$

Подставим выражение для $y = -\frac{3}{5}x$ во первое уравнение:

$$x^2 — \left(-\frac{3}{5}x\right)^2 = 64$$

Упростим:

$$x^2 — \frac{9}{25}x^2 = 64$$

Приведем выражения:

$$\frac{16}{25}x^2 = 64$$

Разделим обе стороны на 16:

$$\frac{x^2}{25} = 4$$

Умножим обе стороны на 25:

$$x^2 = 4 \cdot 25 = 100$$

Находим $x$:

$$x = \pm 10$$

Подставим $x = \pm 10$ в выражение для $y$:

$$y = -\frac{3}{5} \cdot (\pm 10) = \pm 6$$

Ответ: $(10; -6)$ и $(-10; 6)$.