ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 446 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений способом подстановки, воспользовавшись в качестве образца примером 3 (446- 448).
а) $\begin{cases} x + y = -11 \\ xy = -12 \end{cases}$
б) $\begin{cases} xz = -14 \\ x — z = 9 \end{cases}$
в) $\begin{cases} u + v = 12 \\ 2uv = 70 \end{cases}$

а) $\begin{cases} x + y = -11 \\ xy = -12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -11 — y \\ xy + 12 = 0 \end{cases};$
$(-11 — y) \cdot y + 12 = 0;$
$-11y — y^2 + 12 = 0 \quad | \cdot (-1);$
$y^2 + 11y — 12 = 0;$
$D = 11^2 + 4 \cdot 12 = 121 + 48 = 169, \text{ тогда: }$
$y_1 = \frac{-11 — 13}{2} = -12 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-11 + 13}{2} = 1;$
$x_1 = -11 + 12 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -11 — 1 = -12;$
Ответ: $(1; -12)$ и $(-12; 1)$.

б) $\begin{cases} xz = -14 \\ x — z = 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xz + 14 = 0 \\ x = 9 + z \end{cases};$
$(9 + z) \cdot z + 14 = 0;$
$z^2 + 9z + 14 = 0;$
$D = 9^2 — 4 \cdot 14 = 81 — 56 = 25, \text{ тогда: }$
$z_1 = \frac{-9 — 5}{2} = -7 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{-9 + 5}{2} = -2;$
$x_1 = 9 — 7 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = 9 — 2 = 7;$
Ответ: $x = 2$ и $z = -7$; $x = 7$ и $z = -2$.

в) $\begin{cases} u + v = 12 \\ 2uv = 70 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u = 12 — v \\ 2uv — 70 = 0 \end{cases};$
$2v(12 — v) — 70 = 0;$
$24v — 2v^2 — 70 = 0 \quad | : (-2);$
$v^2 — 12v + 35 = 0;$
$D = 12^2 — 4 \cdot 35 = 144 — 140 = 4, \text{ тогда: }$
$v_1 = \frac{12 — 2}{2} = 5 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{12 + 2}{2} = 7;$
$u_1 = 12 — 5 = 7 \quad \text{и} \quad u_2 = 12 — 7 = 5;$
Ответ: $v = 5$ и $u = 7$; $v = 7$ и $u = 5$.

а) $\begin{cases} x + y = -11 \\ xy = -12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -11 — y \\ xy + 12 = 0 \end{cases};$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$$(-11 — y) \cdot y + 12 = 0$$

Раскроем скобки:

$$-11y — y^2 + 12 = 0$$

Умножим на $-1$ для упрощения выражения:

$$y^2 + 11y — 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение $y^2 + 11y — 12 = 0$ с помощью дискриминанта. Для этого вычислим дискриминант:

$$D = 11^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169$$

Так как дискриминант $D = 169$, корни уравнения можно найти по формуле:

$$y_1 = \frac{-11 — \sqrt{169}}{2} = \frac{-11 — 13}{2} = -12$$ $$y_2 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-11 + 13}{2} = 1$$

Подставим значения $y_1 = -12$ и $y_2 = 1$ обратно в выражение для $x$:

$$x_1 = -11 + 12 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -11 — 1 = -12$$

Ответ: $(1; -12)$ и $(-12; 1)$.

б) $\begin{cases} xz = -14 \\ x — z = 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xz + 14 = 0 \\ x = 9 + z \end{cases};$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$$(9 + z) \cdot z + 14 = 0$$

Раскроем скобки:

$$9z + z^2 + 14 = 0$$

Переносим 14 на правую сторону:

$$z^2 + 9z + 14 = 0$$

Решим квадратное уравнение $z^2 + 9z + 14 = 0$ с помощью дискриминанта. Для этого вычислим дискриминант:

$$D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 — 56 = 25$$

Так как дискриминант $D = 25$, корни уравнения можно найти по формуле:

$$z_1 = \frac{-9 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-9 — 5}{2} = -7$$ $$z_2 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-9 + 5}{2} = -2$$

Подставим значения $z_1 = -7$ и $z_2 = -2$ обратно в выражение для $x$:

$$x_1 = 9 — 7 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = 9 — 2 = 7$$

Ответ: $x = 2$ и $z = -7$; $x = 7$ и $z = -2$.

в) $\begin{cases} u + v = 12 \\ 2uv = 70 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u = 12 — v \\ 2uv — 70 = 0 \end{cases};$

Подставим выражение для $u$ из первого уравнения во второе:

$$2v(12 — v) — 70 = 0$$

Раскроем скобки:

$$24v — 2v^2 — 70 = 0$$

Разделим все уравнение на $-2$, чтобы упростить:

$$v^2 — 12v + 35 = 0$$

Решим квадратное уравнение $v^2 — 12v + 35 = 0$ с помощью дискриминанта. Для этого вычислим дискриминант:

$$D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 — 140 = 4$$

Так как дискриминант $D = 4$, корни уравнения можно найти по формуле:

$$v_1 = \frac{12 — \sqrt{4}}{2} = \frac{12 — 2}{2} = 5$$ $$v_2 = \frac{12 + \sqrt{4}}{2} = \frac{12 + 2}{2} = 7$$

Подставим значения $v_1 = 5$ и $v_2 = 7$ обратно в выражение для $u$:

$$u_1 = 12 — 5 = 7 \quad \text{и} \quad u_2 = 12 — 7 = 5$$

Ответ: $v = 5$ и $u = 7$; $v = 7$ и $u = 5$.