ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 444 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений.
а) $\begin{cases} x — y = 0 \\ xy = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y + x^2 = 4 \\ y — x = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y — x = 0 \\ y = 4x — x^2; \end{cases}$

а) $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ xy=4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=x\\ y=\frac{4}{x}\end{array}$$\begin{cases} x — y = 0 \\ xy = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x \\ y = \frac{4}{x} \end{cases}$

$y = x$ — уравнение прямой:
$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 4 \\ \hline y & 0 & 4 \end{array}$

$y = \frac{4}{x}$ — уравнение гиперболы:
$x_0 = 0 \quad \text{и} \quad y_0 = 0$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4 \\ \hline y & -1 & -2 & -4 & 4 & 2 & 1 \end{array}$

Графики пересекаются в точках: $(2; 2)$ и $(-2; -2)$

б) $\{\begin{array}{l}y+x^2=4\\ y-x=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=4-x^2\\ y=2+x\end{array}$$\begin{cases} y + x^2 = 4 \\ y — x = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 4 — x^2 \\ y = 2 + x \end{cases}$

$y = 4 — x^2$ — уравнение параболы:
$x_0 = 0 \quad \text{и} \quad y_0 = 4$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 3 & 0 & -5 \end{array}$

$y = 2 + x$ — уравнение прямой:
$\begin{array}{c|c|c} x & -2 & 0 \\ \hline y & 0 & 2 \end{array}$

Графики пересекаются в точках: $(1; 3)$ и $(-2; 0)$

в) $\{\begin{array}{l}y-x=0\\ y=4x-x^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=x\\ y=4x-x^2\end{array}$$\begin{cases} y — x = 0 \\ y = 4x — x^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x \\ y = 4x — x^2 \end{cases}$

$y = x$ — уравнение прямой:
$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & 2 \end{array}$

$y = 4x — x^2$ — уравнение параболы:
$x_0 = -\frac{4}{-2} = 2 \quad \text{и} \quad y_0 = 4 \cdot 2 — 4 = 4$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 3 & 0 & -5 \end{array}$

Графики пересекаются в точках: $(0; 0)$ и $(3; 3)$

а) $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ xy=4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=x\\ y=\frac{4}{x}\end{array}$$\begin{cases} x — y = 0 \\ xy = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x \\ y = \frac{4}{x} \end{cases}$

Первое уравнение $y = x$ задаёт прямую, проходящую через начало координат и имеющую наклон 45°, то есть на каждый шаг вправо по оси $x$ значение $y$ также увеличивается на столько же.
Подставим значения для построения прямой:
$\begin{array}{c|c|c|c} x & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & -2 & 0 & 2 \end{array}$

Второе уравнение $y = \frac{4}{x}$ задаёт гиперболу с положительным числителем. Это значит, что график будет расположен в I и III координатных четвертях.
Функция не определена при $x = 0$.
Подставим значения $x$, исключая 0:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4 \\ \hline y & -1 & -2 & -4 & 4 & 2 & 1 \end{array}$

Графическое решение — точки пересечения графиков:
Приравниваем правые части:
$x = \frac{4}{x} \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Если $x = 2$, то $y = 2$; если $x = -2$, то $y = -2$.

Ответ: графики пересекаются в точках $(2; 2)$ и $(-2; -2)$

б) $\{\begin{array}{l}y+x^2=4\\ y-x=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=4-x^2\\ y=x+2\end{array}$$\begin{cases} y + x^2 = 4 \\ y — x = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 4 — x^2 \\ y = x + 2 \end{cases}$

Первое уравнение $y = 4 — x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз (отрицательный коэффициент при $x^2$).
Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$.
Подставим значения $x$ для построения графика:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 \end{array}$

Второе уравнение $y = x + 2$ — уравнение прямой, угловой коэффициент равен 1. Прямая возрастает, пересекает ось $y$ в точке $(0; 2)$.
Подставим значения $x$ для построения:
$\begin{array}{c|c|c|c} x & -2 & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & 2 & 3 \end{array}$

Найдём точки пересечения графически и аналитически:
Приравниваем:
$4 — x^2 = x + 2 \Rightarrow -x^2 — x + 2 = -4 \Rightarrow -x^2 — x + 2 = -4$
$\Rightarrow x^2 + x — 2 = 0$

Решим:
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -2$

Найдём $y$:
$x = 1 \Rightarrow y = 1 + 2 = 3$,
$x = -2 \Rightarrow y = -2 + 2 = 0$

Ответ: графики пересекаются в точках $(1; 3)$ и $(-2; 0)$

в) $\{\begin{array}{l}y-x=0\\ y=4x-x^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=x\\ y=4x-x^2\end{array}$$\begin{cases} y — x = 0 \\ y = 4x — x^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x \\ y = 4x — x^2 \end{cases}$

Первое уравнение $y = x$ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом 1.
Подставим значения:
$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 3 \\ \hline y & 0 & 3 \end{array}$

Второе уравнение $y = 4x — x^2$ — это парабола, ветви направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный).
Вершина находится в точке $x_0 = \frac{-4}{-2} = 2$,
$y_0 = 4 \cdot 2 — 2^2 = 8 — 4 = 4$

Подставим значения:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 \end{array}$

Найдём точки пересечения:
Приравниваем:
$x = 4x — x^2 \Rightarrow x^2 — 3x = 0 \Rightarrow x(x — 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 3$

Тогда:
$x = 0 \Rightarrow y = 0$,
$x = 3 \Rightarrow y = 3$

Ответ: графики пересекаются в точках $(0; 0)$ и $(3; 3)$