ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 442 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений графически, пользуясь рисунком 3.14. Проверьте свой ответ, выполнив подстановку.

а) $\begin{cases} x^2 — y = 8 \\ y + x = -2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = 12 \\ y + 6 = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ x + y = 6. \end{cases}$

а) $\begin{cases} x^2 — y = 8 \\ y + x = -2; \end{cases}$
Графики пересекаются в точках: $(-3;1)$ и $(2;-4)$;

Выполним проверку:
$(-3)^2 — 1 = 9 — 1 = 8 \quad \text{и} \quad 1 — 3 = -2;$
$2^2 — (-4) = 4 + 4 = 8 \quad \text{и} \quad -4 + 2 = -2;$

б) $\begin{cases} xy = 12 \\ y + 6 = 2; \end{cases}$
Графики пересекаются в точке: $(-3; -4)$;

Выполним проверку:
$-3 \cdot (-4) = 12 \quad \text{и} \quad -4 + 6 = 2;$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ x + y = 6; \end{cases}$
Графики пересекаются в точках: $(2;4)$ и $(4;2)$;

Выполним проверку:
$2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \quad \text{и} \quad 2 + 4 = 6;$
$4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \quad \text{и} \quad 4 + 2 = 6;$

а) $\begin{cases} x^2 — y = 8 \\ y + x = -2; \end{cases}$

Первое уравнение: $x^2 — y = 8$.
Выразим $y$: $y = x^2 — 8$.
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, и она смещена по оси $y$ вниз на 8 единиц.

Второе уравнение: $y + x = -2$.
Выразим $y$: $y = -x — 2$.
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $-1$ и точкой пересечения с осью $y$ в $-2$.

Решения — это точки пересечения графиков:
Подставим $y = -x — 2$ во второе уравнение:
$x^2 — (-x — 2) = 8 \Rightarrow x^2 + x + 2 = 8 \Rightarrow x^2 + x — 6 = 0$.
Найдём корни уравнения:
$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$,
$x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3$, $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$.
Найдём соответствующие $y$:
Если $x = -3$, то $y = -(-3) — 2 = 3 — 2 = 1$.
Если $x = 2$, то $y = -2 — 2 = -4$.
Ответ: точки пересечения — $(-3; 1)$ и $(2; -4)$.

Проверка:
Для $x = -3$, $y = 1$:
$x^2 — y = 9 — 1 = 8$, $x + y = -3 + 1 = -2$;
Для $x = 2$, $y = -4$:
$x^2 — y = 4 + 4 = 8$, $x + y = 2 — 4 = -2$.
Обе точки удовлетворяют системе.

б) $\begin{cases} xy = 12 \\ y + 6 = 2; \end{cases}$

Второе уравнение: $y + 6 = 2 \Rightarrow y = -4$.
Это горизонтальная прямая на уровне $y = -4$.

Подставим $y = -4$ в первое уравнение:
$x \cdot (-4) = 12 \Rightarrow x = -3$.
Ответ: точка пересечения — $(-3; -4)$.

Проверка:
$x \cdot y = (-3) \cdot (-4) = 12$,
$y + 6 = -4 + 6 = 2$.
Обе части равны, точка удовлетворяет системе.

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ x + y = 6; \end{cases}$

Первое уравнение — окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{20}$.
Второе уравнение — прямая с угловым коэффициентом $-1$, пересекающая ось $y$ в точке $y = 6$.

Выразим $y$: $y = 6 — x$.
Подставим в первое уравнение:
$x^2 + (6 — x)^2 = 20 \Rightarrow x^2 + 36 — 12x + x^2 = 20 \Rightarrow 2x^2 — 12x + 36 = 20$.
Приведём уравнение:
$2x^2 — 12x + 16 = 0 \Rightarrow x^2 — 6x + 8 = 0$.
Найдём корни:
$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$,
$x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2$, $x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$.
Найдём $y$:
Если $x = 2$, $y = 6 — 2 = 4$;
Если $x = 4$, $y = 6 — 4 = 2$.
Ответ: точки пересечения — $(2; 4)$ и $(4; 2)$.

Проверка:
$2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$, $2 + 4 = 6$;
$4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$, $4 + 2 = 6$.
Обе точки удовлетворяют системе.