ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 441 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений, иметь бесконечно много решений. Пользуясь рисунком 3.13, а—в, запишите систему, соответствующую каждому из этих случаев. Решите алгебраически систему, имеющую одно решение.

1) Система имеет одно решение:
$\begin{cases} y — x = 3 \\ y + 2x = -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 3 + x \\ y = -3 — 2x \end{cases}$
$3 + x = -3 — 2x;$
$x + 2x = -3 — 3;$
$3x = -6, \text{отсюда } x = -2;$
$y = 3 — 2 = 1;$

2) Система не имеет решений:
$\begin{cases} 2y — x = 6 \\ 2y — x = -4 \end{cases}$

3) Система имеет бесконечно много решений:
$\begin{cases} y + 2x = 4 \\ y + 2x = 4 \end{cases}$

1) Система имеет одно решение:
$\begin{cases} y — x = 3 \\ y + 2x = -3 \end{cases}$
Выразим переменную $y$ из первого уравнения:
$y = x + 3$.
Подставим это выражение во второе уравнение вместо $y$:
$(x + 3) + 2x = -3$.
Раскроем скобки и упростим:
$x + 3 + 2x = -3$.
Сложим подобные члены:
$3x + 3 = -3$.
Перенесём $3$ в правую часть:
$3x = -3 — 3$.
$3x = -6$.
Разделим обе части на $3$:
$x = -2$.
Подставим найденное значение $x = -2$ в выражение $y = x + 3$:
$y = -2 + 3 = 1$.
Таким образом, система имеет одно решение:
$x = -2$, $y = 1$.

2) Система не имеет решений:
$\begin{cases} 2y — x = 6 \\ 2y — x = -4 \end{cases}$
Левые части обоих уравнений абсолютно одинаковы: $2y — x$, но правые части различны: 6 и -4.
Это значит, что эти уравнения описывают две параллельные прямые, у которых совпадают угловой коэффициент и свободный член отличается.
Следовательно, такие прямые никогда не пересекаются, и система несовместна.
Ответ: решений нет.

3) Система имеет бесконечно много решений:
$\begin{cases} y + 2x = 4 \\ y + 2x = 4 \end{cases}$
Оба уравнения идентичны.
Это означает, что они описывают одну и ту же прямую.
Каждая точка, принадлежащая этой прямой, является решением системы.
Следовательно, решений бесконечно много.
Общий вид решения:
$y = 4 — 2x$, где $x \in \mathbb{R}$.