ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 440 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Среди данных уравнений найдите уравнения параболы, гиперболы, окружности, прямой:

$x^2 — \frac{1}{3}y = 2$;

$xy = -4$;

$y + 2x = 6$;

$4 — 2xy = 0$;

$x^2 + y^2 = 25$;

$x^2 — x — y = 0$;

$3y — 6 = 0$;

$x^2 + y^2 — 9 = 0$.

Постройте график каждого уравнения.

$x^2 — \frac{1}{3}y = 2$;
$-\frac{1}{3}y = 2 — x^2 \quad | \cdot (-3)$
$y = 3x^2 — 6$
График функции — парабола:
$x_0=0\text{и}{y}_0=3\cdot 0^2-6=-6$

$$$xy = -4$;
$y = -\frac{4}{x}$
График функции — гипербола:
$x_0 = 0 \quad \text{и} \quad y_0 = 0$

$y + 2x = 6$;
$y = 6 — 2x$
График функции — прямая:
$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 3 \\ \hline y & 6 & 0 \\ \end{array}$

$4 — 2xy = 0$;
$-2xy = -4 \quad | \cdot (-1)$
$2xy = 4$
$y = \frac{2}{x}$
График функции — гипербола:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & -4 & -2 & -1 & -0.5 & 0.5 & 1 & 2 & 4 \\ \hline y & -0.5 & -1 & -2 & -4 & 4 & 2 & 1 & 0.5 \\ \end{array}$

$x^2 + y^2 = 25$
График функции — окружность:
$x_0 = 0 \quad \text{и} \quad y_0 = 0$
$R = \sqrt{25} = 5$

$x^2 — x — y = 0$;
$-y = -x^2 + x \quad | \cdot (-1)$
$y = x^2 — x$
График функции — парабола:
$x_0 = -\frac{-1}{2} = 0.5 \quad \text{и} \quad y_0 = \frac{1}{4} — \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$

$3y — 6 = 0$;
$3y = 6$
$y = 2$
График функции — прямая

$x^2 + y^2 — 9 = 0$;
$x^2 + y^2 = 9$
График функции — окружность:
$x_0 = 0 \quad \text{и} \quad y_0 = 0$
$R=\sqrt{9}=3$

$x^2 — \frac{1}{3}y = 2$;
Переносим $x^2$ в правую часть: $-\frac{1}{3}y = 2 — x^2$.
Умножаем обе части уравнения на $-3$, чтобы избавиться от дроби и получить явный вид функции:
$y = 3x^2 — 6$.
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх (так как при $x^2$ стоит положительный коэффициент $3$).
Вершина параболы имеет координаты:
$x_0 = 0$, так как парабола не содержит линейного члена.
$y_0 = 3 \cdot 0^2 — 6 = -6$.
Следовательно, вершина параболы — точка $(0;-6)$.

$xy = -4$;
Выразим $y$ в явном виде: $y = -\frac{4}{x}$.
Это уравнение обратной пропорциональности, график — гипербола.
График расположен в II и IV координатных четвертях, так как произведение переменных даёт отрицательное число.
При $x \rightarrow 0$, $y \rightarrow \infty$; при $y \rightarrow 0$, $x \rightarrow \infty$.
Функция не определена при $x = 0$, так как на ноль делить нельзя.

$y + 2x = 6$;
Выразим $y$: $y = 6 — 2x$.
Это линейная функция с угловым коэффициентом $-2$, график — прямая, наклонённая вниз.
Найдём точки для построения:
Если $x = 0$, то $y = 6$;
Если $x = 3$, то $y = 0$.
Точки: $(0;6)$ и $(3;0)$ — достаточно для построения прямой.

$4 — 2xy = 0$;
Переносим $-2xy$ вправо: $-2xy = -4$.
Умножим обе части на $-1$: $2xy = 4$.
Разделим на $2x$: $y = \frac{2}{x}$.
Это снова гипербола, но с положительным значением произведения.
Значит, график будет расположен в I и III координатных четвертях.
Для построения подставим значения $x$:
$x = -4 \Rightarrow y = -0.5$;
$x = -2 \Rightarrow y = -1$;
$x = -1 \Rightarrow y = -2$;
$x = -0.5 \Rightarrow y = -4$;
$x = 0.5 \Rightarrow y = 4$;
$x = 1 \Rightarrow y = 2$;
$x = 2 \Rightarrow y = 1$;
$x = 4 \Rightarrow y = 0.5$.
Полученные точки отражают гиперболу в I и III четвертях.

$x^2 + y^2 = 25$;
Это уравнение окружности с центром в начале координат.
Стандартный вид окружности: $(x — a)^2 + (y — b)^2 = R^2$, где $(a;b)$ — центр окружности, $R$ — радиус.
Здесь $a = 0$, $b = 0$, $R^2 = 25 \Rightarrow R = 5$.
Центр: $(0;0)$, радиус: $5$.
График — окружность, проходящая через точки $(5;0), (-5;0), (0;5), (0;-5)$.

$x^2 — x — y = 0$;
Выразим $y$: $-y = -x^2 + x \Rightarrow y = x^2 — x$.
Это уравнение параболы, ветви вверх.
Найдём координаты вершины по формуле:
$x_0 = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$,
$y_0 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 — \frac{1}{2} = \frac{1}{4} — \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
Вершина: $\left( \frac{1}{2}; -\frac{1}{4} \right)$.
Парабола проходит через начало координат, так как при $x = 0$, $y = 0$.
Также: при $x = 1$, $y = 0$, то есть вершина расположена между этими точками.

$3y — 6 = 0$;
Переносим: $3y = 6 \Rightarrow y = 2$.
Это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (горизонтальная прямая).
Она проходит через все точки, у которых координата $y = 2$, независимо от значения $x$.

$x^2 + y^2 — 9 = 0$;
Приведём к виду окружности: $x^2 + y^2 = 9$.
Это окружность с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.
Центр окружности: $(0;0)$, радиус: $3$.
График проходит через точки $(3;0), (-3;0), (0;3), (0;-3)$.