ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 439 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Причалы А и В расположены на разных берегах озера. Катер отошёл от причала А в направлении причала В. Через 12 мин навстречу ему от причала В отошёл теплоход и встретил катер через 20 мин после своего выхода. За какое время катер проходит расстояние между причалами, если известно, что ому требуется на это на 12 мин меньше, чем теплоходу?

1) Пусть катер проходит весь путь за $x$ минут, тогда:
$x + 12$ мин — потребуется теплоходу на прохождение всего пути;
$\frac{1}{x}$ — такую часть пути проходит катер за 1 минуту;
$\frac{1}{x + 12}$ — такую часть пути проходит теплоход за 1 минуту;
$20 + 12 = 32$ мин — время, которое двигался катер;

2) За 32 и 20 мин соответственно катер и теплоход проходят весь путь:
$32 \cdot \frac{1}{x} + 20 \cdot \frac{1}{x + 12} = 1 \quad | \cdot x(x + 12)$
$32(x + 12) + 20x = x(x + 12)$
$32x + 384 + 20x = x^2 + 12x$
$x^2 + 12x — 32x — 20x — 384 = 0$
$x^2 — 40x — 384 = 0$
$D = 40^2 + 4 \cdot 384 = 1600 + 1536 = 3136 = 56^2, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{40 — 56}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{40 + 56}{2} = 48$

3) Время движения не может быть отрицательным:
$x \neq -8, \text{значит } x = 48 \, (\text{мин})$

Ответ: 48 минут.

1) Пусть катер проходит весь путь за $x$ минут. Это означает, что он за 1 минуту проходит $\frac{1}{x}$ часть всего пути, то есть его скорость равна $\frac{1}{x}$ долей пути в минуту. Теплоход проходит весь тот же путь на 12 минут медленнее, то есть его время равно $x + 12$ минут. Следовательно, скорость теплохода составляет $\frac{1}{x + 12}$ долей пути в минуту. Также известно, что катер двигался 32 минуты, потому что он отправился на 12 минут раньше теплохода и вернулся ему навстречу, когда теплоход шёл уже 20 минут, значит:
$12 + 20 = 32$ минут — это общее время движения катера в обе стороны.

2) За 32 минуты движения катер прошёл путь туда и обратно с общей скоростью $\frac{1}{x}$, а теплоход прошёл путь только в одну сторону за 20 минут с его скоростью $\frac{1}{x + 12}$. Суммарно они вместе прошли путь, эквивалентный 1 полному маршруту. Тогда составим уравнение:
$32 \cdot \frac{1}{x} + 20 \cdot \frac{1}{x + 12} = 1$ — это выражает условие, что общая длина пути была пройдена.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x + 12)$, чтобы исключить дроби:
$32(x + 12) + 20x = x(x + 12)$.
Раскроем скобки в левой части:
$32x + 32 \cdot 12 = 32x + 384$.
Прибавим $20x$:
$32x + 384 + 20x = 52x + 384$.
Правая часть уравнения:
$x(x + 12) = x^2 + 12x$.
Итак, получаем уравнение:
$52x + 384 = x^2 + 12x$.
Переносим всё в правую часть, меняя знаки:
$x^2 + 12x — 52x — 384 = 0 \Rightarrow x^2 — 40x — 384 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение $x^2 — 40x — 384 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 — 4ac$:
$D = (-40)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-384) = 1600 + 1536 = 3136$.
Так как $D = 3136 = 56^2$, уравнение имеет два действительных корня.
Вычислим их по формуле корней:
$x_{1,2} = \frac{40 \pm 56}{2}$.
Тогда:
$x_1 = \frac{40 — 56}{2} = \frac{-16}{2} = -8$,
$x_2 = \frac{40 + 56}{2} = \frac{96}{2} = 48$.

3) Время не может быть отрицательным, так как $x$ — это время прохождения пути, а оно по смыслу не может быть меньше нуля.
Следовательно, отбрасываем отрицательное значение $x = -8$, и оставляем единственно возможный корень:
$x = 48$ минут — столько времени потребуется катеру для прохождения полного пути.

Ответ: 48 минут.