ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 438 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Для ремонта участка дороги выделили две бригады, одна из которых могла бы выполнить весь ремонт на 7 дней быстрее другой. Работу начали одновременно с двух концов участка и через 9 дней выполнили 75% всей работы. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение ремонта всей дороги?

1) Пусть первая бригада может выполнить всю работу за $x$ дней, тогда:
$x + 7$ дней — понадобится второй бригаде для выполнения всей работы;
$\frac{1}{x}$ — такую часть работы выполняет первая бригада за 1 день;
$\frac{1}{x + 7}$ — такую часть работы выполняет вторая бригада за 1 день;
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 7}$ — часть работы, которую они вместе выполняют за 1 день;

2) За 9 дней они выполнили $75\%$ всей работы:
$9 \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 7} \right) = \frac{3}{4}$
$9 \cdot \frac{x + 7 + x}{x(x + 7)} = \frac{3}{4} \quad | \cdot 4x(x + 7)$
$9 \cdot 4(2x + 7) = 3x(x + 7)$
$72x + 252 = 3x(x + 7)$
$72x + 252 = 3x^2 + 21x$
$3x^2 + 21x — 72x — 252 = 0$
$3x^2 — 51x — 252 = 0 \quad | : 3$
$x^2 — 17x — 84 = 0$
$D = 17^2 + 4 \cdot 84 = 289 + 336 = 625 = 25^2, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{17 — 25}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{17 + 25}{2} = 21$

3) Количество дней не может быть отрицательным:
$x \neq -4, \text{значит } x = 21 \, (\text{дней})$

4) Время, требуемое второй бригаде:
$21 + 7 = 28 \, (\text{дней})$

Ответ: 21 день; 28 дней.

1) Пусть первая бригада выполняет всю работу за $x$ дней. Это значит, что за один день она выполняет $\frac{1}{x}$ часть всей работы. Вторая бригада выполняет ту же работу на 7 дней медленнее, то есть ей требуется $x + 7$ дней. Тогда вторая бригада за один день выполняет $\frac{1}{x + 7}$ часть всей работы. Если обе бригады работают одновременно, то за один день они в сумме выполняют:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 7}$ — это общая производительность двух бригад в день.

2) По условию сказано, что за 9 дней совместной работы они выполнили 75% работы, то есть $\frac{3}{4}$ всей работы. Тогда составим уравнение:
$9 \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 7} \right) = \frac{3}{4}$.
Раскроем скобки, предварительно приведя сумму к общему знаменателю:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 7} = \frac{(x + 7) + x}{x(x + 7)} = \frac{2x + 7}{x(x + 7)}$.
Тогда:
$9 \cdot \frac{2x + 7}{x(x + 7)} = \frac{3}{4}$.
Умножим обе части уравнения на $4x(x + 7)$, чтобы избавиться от знаменателей:
$9 \cdot 4(2x + 7) = 3x(x + 7)$.
В левой части:
$9 \cdot 4 = 36$, а $36 \cdot (2x + 7) = 72x + 252$.
В правой части:
$3x(x + 7) = 3x^2 + 21x$.
Получаем уравнение:
$72x + 252 = 3x^2 + 21x$.
Перенесём всё в правую часть:
$0 = 3x^2 + 21x — 72x — 252 \Rightarrow 3x^2 — 51x — 252 = 0$.
Разделим всё уравнение на 3:
$x^2 — 17x — 84 = 0$ — приведённое квадратное уравнение.
Вычислим дискриминант:
$D = (-17)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 289 + 336 = 625$.
Так как $D = 625 = 25^2$, корни найдём по формуле:
$x_{1,2} = \frac{17 \pm 25}{2}$.
Тогда:
$x_1 = \frac{17 — 25}{2} = \frac{-8}{2} = -4$,
$x_2 = \frac{17 + 25}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

3) Поскольку количество дней не может быть отрицательным по смыслу задачи (время работы не может быть отрицательным), отрицательный корень $x = -4$ отбрасывается. Остаётся единственно возможный ответ:
$x = 21$. Это означает, что первая бригада выполняет всю работу за 21 день.

4) Тогда вторая бригада, которая работает на 7 дней дольше, выполняет ту же работу за $x + 7 = 21 + 7 = 28$ дней.

Ответ: 21 день; 28 дней.