ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 437 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Коля и Миша, работая вместе, выполнили сортировку газет за 4 мин. Коля может выполнить это задание на 6 мин быстрее Миши. За сколько минут Коля выполнит это задание, работая один?

1) Пусть Коля выполнит задание за $x$ минут, тогда:

$x + 6$ мин — время, за которое выполнит работу Миша;

$\frac{1}{x}$ — такую часть работы выполняет Коля за 1 минуту;

$\frac{1}{x + 6}$ — такую часть работы выполняет Миша за 1 минуту;

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6}$ — часть работы, которую они вместе выполняют за 1 минуту;

2) За 4 минуты они выполнили всю работу:

$$4\cdot (\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6})=1$$

$$4 \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} \right) = 1$$ $$4\cdot \frac{x+6+x}{x(x+6)}=1\mathrm{\mid }\cdot x(x+6)$$

$$4 \cdot \frac{x + 6 + x}{x(x + 6)} = 1 \quad | \cdot x(x + 6)$$ $$4\cdot (2x+6)=x(x+6)$$

$$4 \cdot (2x + 6) = x(x + 6)$$ $$8x+24=x^2+6x$$

$$8x + 24 = x^2 + 6x$$ $$x^2+6x-8x-24=0$$

$$x^2 + 6x — 8x — 24 = 0$$ $$x^2-2x-24=0$$

$$x^2 — 2x — 24 = 0$$ $$D=2^2+4\cdot 24=4+96=100,\text{тогда:}$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6$$

3) Время работы не может быть отрицательным:

$$x \neq -4, \text{значит } x = 6 \, (\text{мин})$$

Ответ: за 6 минут.

Пусть $x$ — время, которое Коля тратит на выполнение работы, измеряемое в минутах. Это означает, что если Коля работает в своем нормальном темпе, он может выполнить всю работу за $x$ минут. Теперь определим время, которое потребуется Мише для выполнения всей работы.

$x + 6$ минут — это время, которое Миша тратит на выполнение той же работы. Поскольку Миша работает в 2 раза медленнее, чем Коля, то его время работы на выполнение того же задания составляет $x + 6$ минут.

$\frac{1}{x}$ — это часть работы, которую Коля выполняет за 1 минуту. Если Коля может выполнить всю работу за $x$ минут, то за 1 минуту он выполняет $\frac{1}{x}$ всей работы.

$\frac{1}{x + 6}$ — это часть работы, которую Миша выполняет за 1 минуту. Миша работает медленнее, чем Коля, его эффективность составляет $\frac{1}{x + 6}$ работы за 1 минуту.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6}$ — это часть работы, которую они выполняют вместе за 1 минуту. За одну минуту Коля и Миша выполняют суммарно $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6}$ части работы.

Мы знаем, что за 4 минуты Коля и Миша выполняют всю работу. Это означает, что за 4 минуты они выполняют 1 полную работу, и мы можем составить уравнение для расчета времени, необходимого Коли для выполнения работы. Уравнение будет выглядеть следующим образом:

$$4 \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} \right) = 1.$$

Теперь упростим выражение в скобках. Приведем дроби $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x + 6}$ к общему знаменателю. Общий знаменатель для этих дробей будет равен $x(x + 6)$:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{x + 6}{x(x + 6)} + \frac{x}{x(x + 6)} = \frac{2x + 6}{x(x + 6)}.$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$4 \cdot \frac{2x + 6}{x(x + 6)} = 1.$$

Умножим обе части уравнения на $x(x + 6)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$4 \cdot (2x + 6) = x(x + 6).$$

Раскроем скобки на обеих сторонах уравнения:

$$8x + 24 = x^2 + 6x.$$

Теперь перенесем все элементы на одну сторону уравнения, чтобы получить стандартную форму квадратного уравнения:

$$x^2 + 6x — 8x — 24 = 0.$$

Упростим выражение:

$$x^2 — 2x — 24 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В данном случае $a = 1$, $b = -2$, и $c = -24$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100.$$

Теперь находим корни квадратного уравнения по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = -2$, $D = 100$, и $a = 1$:

$$x_1=\frac{-(-2)-\sqrt{100}}{2\cdot 1}=\frac{2-10}{2}=-4,$$

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 10}{2} = -4,$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = 6.$$

Поскольку время не может быть отрицательным, выберем положительный корень $x = 6$. Это означает, что Коля может выполнить работу за 6 минут.

Ответ: за 6 минут.