ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 432 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Расстояние между городами A и В по железной дороге равно 80 км, а по водному пути — 100 км. Из города А выходит теплоход, скорость которого на 30 км/ч меньше скорости поезда. Поезд выходит из города А на 1 ч 30 мин позже и прибывает в город В на 30 мин раньше теплохода. Найдите скорость теплохода.

1) Пусть $x$ км/ч — скорость движения теплохода, тогда:

$x + 30$ км/ч — скорость движения поезда;

$\frac{100}{x}$ ч — время, затраченное на путь теплоходом;

$\frac{80}{x + 30}$ ч — время, затраченное на путь поездом;

$1$ ч $30$ мин $= 1.5$ ч;

$30$ мин $= 0.5$ ч;

2) Составим и решим уравнение:

$$\frac{100}{x}=\frac{80}{x+30}+1.5+0.5$$

$$\frac{100}{x} = \frac{80}{x + 30} + 1.5 + 0.5$$ $$\frac{100}{x}-\frac{80}{x+30}=2\mathrm{\mid }\cdot x(x+30)$$

$$\frac{100}{x} — \frac{80}{x + 30} = 2 \quad | \cdot x(x + 30)$$ $$100(x+30)-80x=2x(x+30)$$

$$100(x + 30) — 80x = 2x(x + 30)$$ $$100x+3000-80x=2x^2+60x$$

$$100x + 3000 — 80x = 2x^2 + 60x$$ $$2x^2+60x-100x+80x-3000=0$$

$$2x^2 + 60x — 100x + 80x — 3000 = 0$$ $$2x^2+40x-3000=0\mathrm{\mid }:2$$

$$2x^2 + 40x — 3000 = 0 \quad | : 2$$ $$x^2+20x-1500=0$$

$$x^2 + 20x — 1500 = 0$$ $$D = 20^2 + 4 \cdot 1500 = 400 + 6000 = 6400 = 80^2$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{-20 — 80}{2} = -50 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-20 + 80}{2} = 30$$

3) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -50, \text{значит } x = 30 \, (\text{км/ч})$$

Ответ: $30$ км/ч.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость теплохода. Это означает, что если теплоход будет двигаться в стоячей воде, то его скорость будет равна $x \, \text{км/ч}$.

Скорость теплохода по течению, то есть когда он движется в том же направлении, что и течение реки, будет равна $x + 30 \, \text{км/ч}$, так как скорость течения реки составляет $30 \, \text{км/ч}$.

Скорость поезда, который движется по железной дороге, будет равна $x + 30 \, \text{км/ч}$, так как скорость поезда на $30 \, \text{км/ч}$ больше, чем скорость теплохода.

Время, затраченное теплоходом на путь, можно найти по формуле $t = \frac{S}{V}$, где $t$ — время, $S$ — расстояние, $V$ — скорость. Так как расстояние, которое преодолевает теплоход, равно $100 \, \text{км}$, то время будет равно $\frac{100}{x} \, \text{ч}$.

Время, затраченное на путь поездом, аналогично можно найти, но с учетом того, что скорость поезда равна $x + 30 \, \text{км/ч}$ и расстояние равно $80 \, \text{км}$, следовательно, время будет равно $\frac{80}{x + 30} \, \text{ч}$.

Общая продолжительность путешествия составляет 2 часа, включая 1 час 30 минут (что равно 1.5 ч) и 30 минут (что равно 0.5 ч) стоянки. Обозначим это следующим образом:

$$1 \, \text{ч} \, 30 \, \text{мин} = 1.5 \, \text{ч}, \quad 30 \, \text{мин} = 0.5 \, \text{ч}.$$

Задача состоит в том, чтобы найти время, которое затрачивает теплоход и поезд на преодоление своих расстояний, и учесть время стоянки. Мы знаем, что общее время путешествия равно 2 ч, включая стоянку, и его можно записать как:

$$\frac{100}{x} = \frac{80}{x + 30} + 1.5 + 0.5$$

Упростим уравнение. Переносим $1.5 + 0.5$ на правую сторону:

$$\frac{100}{x} = \frac{80}{x + 30} + 2$$

Теперь изолируем дроби на одной стороне уравнения:

$$\frac{100}{x} — \frac{80}{x + 30} = 2$$

Умножим обе части уравнения на $x(x + 30)$, чтобы избавиться от дробей. Это действие нужно для того, чтобы привести уравнение к более простому виду:

$$\left( \frac{100}{x} — \frac{80}{x + 30} \right) \cdot x(x + 30) = 2 \cdot x(x + 30)$$

Выполним умножение на общие множители:

$$100(x + 30) — 80x = 2x(x + 30)$$

Раскроем скобки:

$$100x + 3000 — 80x = 2x^2 + 60x$$

Теперь упростим выражение:

$$100x-80x+3000=2x^2+60x$$

$$100x — 80x + 3000 = 2x^2 + 60x$$ $$20x + 3000 = 2x^2 + 60x$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$2x^2 + 60x — 20x — 3000 = 0$$

Упрощаем:

$$2x^2 + 40x — 3000 = 0$$

Разделим все элементы на 2 для упрощения:

$$x^2 + 20x — 1500 = 0$$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Для нашего уравнения $a = 1$, $b = 20$, и $c = -1500$, подставим значения:

$$D = 20^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1500) = 400 + 6000 = 6400$$

Теперь находим квадратный корень из дискриминанта:

$$D = 6400 = 80^2$$

Находим корни уравнения по формуле:

$$x_1=\frac{-20-80}{2\cdot 1}=\frac{-100}{2}=-50$$

$$x_1 = \frac{-20 — 80}{2 \cdot 1} = \frac{-100}{2} = -50$$ $$x_2 = \frac{-20 + 80}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, то выбираем положительный корень:

$$x = 30$$

Ответ: $30 \, \text{км/ч}$.