ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 431 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Прогулочный маршрут на лодках включал движение по течению реки на расстояние $10 \, \text{км}$ и против течения реки на расстояние $6 \, \text{км}$. Скорость течения реки $1 \, \text{км/ч}$. Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка заняла $2 \, \text{ч}$, включая 15-минутную стоянку?

1) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — собственная скорость лодки, тогда:

$x + 1 \, \text{км/ч}$ — скорость лодки по течению;

$x — 1 \, \text{км/ч}$ — скорость лодки против течения;

$\frac{10}{x + 1} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь по течению;

$\frac{6}{x — 1} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь против течения;

2) Составим и решим уравнение, учитывая, что $15 \, \text{мин} = \frac{1}{4} \, \text{ч}$:

$$\frac{10}{x+1}+\frac{6}{x-1}+\frac{1}{4}=2;$$

$$\frac{10}{x + 1} + \frac{6}{x — 1} + \frac{1}{4} = 2;$$ $$\frac{10}{x+1}+\frac{6}{x-1}=\frac{7}{4}\mathrm{\mid }\cdot 4(x-1)(x+1);$$

$$\frac{10}{x + 1} + \frac{6}{x — 1} = \frac{7}{4} \quad | \cdot 4(x — 1)(x + 1);$$ $$10\cdot 4(x-1)+6\cdot 4(x+1)=7(x-1)(x+1);$$

$$10 \cdot 4(x — 1) + 6 \cdot 4(x + 1) = 7(x — 1)(x + 1);$$ $$40x-40+24x+24=7(x^2-1);$$

$$40x — 40 + 24x + 24 = 7(x^2 — 1);$$ $$64x-16=7x^2-7;$$

$$64x — 16 = 7x^2 — 7;$$ $$7x^2-64x+9=0;$$

$$7x^2 — 64x + 9 = 0;$$ $$D={64}^2-4\cdot 7\cdot 9=4096-252=3844={62}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 64^2 — 4 \cdot 7 \cdot 9 = 4096 — 252 = 3844 = 62^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{64 — 62}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{64 + 62}{2 \cdot 7} = \frac{126}{14} = 9;$$

3) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq \frac{1}{7}, \text{ так как в этом случае } x — 1 < 0, \text{ значит } x = 9 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $9 \, \text{км/ч}.$

Пусть $x \, \text{км/ч}$ — собственная скорость лодки. Это означает, что если бы лодка двигалась в стоячей воде, то её скорость была бы равна $x \, \text{км/ч}$.

Скорость лодки по течению, то есть когда лодка движется в том же направлении, что и течение реки, будет равна $x + 1 \, \text{км/ч}$, так как скорость течения реки составляет $1 \, \text{км/ч}$.

Скорость лодки против течения, то есть когда лодка движется в противоположном направлении, будет равна $x — 1 \, \text{км/ч}$. Это происходит потому, что скорость течения препятствует движению лодки.

Теперь, чтобы рассчитать время, которое лодка тратит на преодоление расстояний, нужно использовать формулу времени $t = \frac{S}{V}$, где $t$ — время, $S$ — расстояние, а $V$ — скорость.

Для движения по течению, когда лодка двигается на расстояние $10 \, \text{км}$, время будет равно $\frac{10}{x + 1} \, \text{ч}$.

Для движения против течения на расстояние $6 \, \text{км}$, время будет равно $\frac{6}{x — 1} \, \text{ч}$.

Теперь составим уравнение для времени, которое затрачивает лодка на весь путь. Задача сообщает, что общая продолжительность поездки составляет $2 \, \text{ч}$, включая 15 минут стоянки. 15 минут можно перевести в часы:

$$15 \, \text{мин} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \, \text{ч}.$$

Таким образом, суммарное время на движение по реке, включая стоянку, должно быть равно 2 часам. Время на движение по течению и против течения суммируется с временем стоянки, то есть:

$$\frac{10}{x + 1} + \frac{6}{x — 1} + \frac{1}{4} = 2.$$

Избавимся от дробей, умножив обе стороны на 4, чтобы убрать дробь с $\frac{1}{4}$:

$$4 \cdot \left( \frac{10}{x + 1} + \frac{6}{x — 1} \right) + 4 \cdot \frac{1}{4} = 4 \cdot 2.$$

Упростим это уравнение:

$$\frac{40}{x + 1} + \frac{24}{x — 1} + 1 = 8.$$

Теперь изолируем дроби:

$$\frac{40}{x + 1} + \frac{24}{x — 1} = 7.$$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $(x + 1)(x — 1)$, что является общим знаменателем для всех дробей:

$$\left( \frac{40}{x + 1} + \frac{24}{x — 1} \right) \cdot (x + 1)(x — 1) = 7 \cdot (x + 1)(x — 1).$$

Раскроем скобки:

$$40(x — 1) + 24(x + 1) = 7(x^2 — 1).$$

Теперь распределим множители:

$$40x — 40 + 24x + 24 = 7x^2 — 7.$$

Упростим выражение:

$$64x — 16 = 7x^2 — 7.$$

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$$7x^2 — 64x + 9 = 0.$$

Это квадратное уравнение, которое мы решим с помощью дискриминанта.

Вычислим дискриминант $D$ для уравнения $7x^2 — 64x + 9 = 0$. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Подставляем значения $a = 7$, $b = -64$, и $c = 9$:

$$D = (-64)^2 — 4 \cdot 7 \cdot 9 = 4096 — 252 = 3844.$$

Теперь находим корни уравнения, вычисляя квадратный корень из дискриминанта:

$$D = 3844 = 62^2.$$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-(-64)-62}{2\cdot 7}=\frac{64-62}{14}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7},$$

$$x_1 = \frac{-(-64) — 62}{2 \cdot 7} = \frac{64 — 62}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7},$$ $$x_2 = \frac{-(-64) + 62}{2 \cdot 7} = \frac{64 + 62}{14} = \frac{126}{14} = 9.$$

Поскольку скорость не может быть отрицательной и не может быть меньше скорости течения реки (иначе лодка не могла бы двигаться против течения), то $x = \frac{1}{7}$ не подходит. Следовательно, выбираем корень $x = 9 \, \text{км/ч}$.

Ответ: $9 \, \text{км/ч}$.