ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 430 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Фирма получила заказ сшить к определённому сроку 60 костюмов. Подсчитав, каким должен быть ежедневный объём работы, мастер решил, что мастерская может шить на один костюм в день больше. В этом случае вся работа будет закончена на 3 дня раньше срока. За сколько дней требовалось выполнить заказ?

1) Пусть $x \, \text{дней}$ — требовалось для выполнения заказа, тогда:

• $x — 3 \, \text{дня}$ — будет затрачено на выполнение заказа;
• $\frac{60}{x} \, \text{шт}$ — костюмов в день требовалось шить;
• $\frac{60}{x — 3} \, \text{шт}$ — костюмов в день решил шить мастер;

2) Составим и решим уравнение:

$$\frac{60}{x-3}-\frac{60}{x}=1\mathrm{\mid }\cdot x(x-3);$$

$$\frac{60}{x — 3} — \frac{60}{x} = 1 \quad | \cdot x(x — 3);$$ $$60x-60(x-3)=x(x-3);$$

$$60x — 60(x — 3) = x(x — 3);$$ $$60x-60x+180=x^2-3x;$$

$$60x — 60x + 180 = x^2 — 3x;$$ $$180=x^2-3x;$$

$$180 = x^2 — 3x;$$ $$x^2-3x-180=0;$$

$$x^2 — 3x — 180 = 0;$$ $$D=3^2+4\cdot 180=9+720=729={27}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 180 = 9 + 720 = 729 = 27^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{3 — 27}{2} = -12 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 27}{2} = 15;$$

3) Количество дней не может быть отрицательным:

$$x \neq -12, \text{ значит } x = 15 \, (\text{дней});$$

Ответ: за $15 \, \text{дней}.$

1) Пусть $x \, \text{дней}$ — время, которое изначально требовалось для выполнения заказа. Тогда:

• $x — 3 \, \text{дня}$ — это количество времени, которое мастер затрачивает на выполнение заказа после изменения плана. Из условия задачи мы знаем, что мастер сокращает время выполнения заказа на $3 \, \text{дня}$, увеличив количество шитых костюмов в день.
• $\frac{60}{x} \, \text{шт}$ — это количество костюмов, которые мастер должен был шить каждый день в течение $x$ дней, чтобы выполнить заказ за указанное количество дней. Здесь $60$ — это общее количество костюмов, которое требуется сшить.
• $\frac{60}{x — 3} \, \text{шт}$ — это количество костюмов, которые мастер решает шить каждый день, чтобы завершить выполнение заказа за $x — 3$ дней, сократив срок на $3 \, \text{дня}$. Увеличив количество сшиваемых костюмов за счет повышения скорости работы, мастер сокращает срок выполнения.

2) Составим и решим уравнение для определения значения $x$. Задача сообщает, что в результате увеличения количества сшиваемых костюмов на $3 \, \text{дня}$, мастер успевает закончить работу за меньшее количество времени, при этом выполняя заказ за тот же период времени. Разница в количестве сшиваемых костюмов и времени даёт единицу, так как работа была завершена вовремя:

$$\frac{60}{x — 3} — \frac{60}{x} = 1$$

Теперь умножим обе части на $x(x — 3)$, чтобы избавиться от дробей. Это необходимо для того, чтобы привести уравнение к виду, в котором все переменные будут в числителе:

$$\left( \frac{60}{x — 3} — \frac{60}{x} \right) \cdot x(x — 3) = 1 \cdot x(x — 3)$$

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

$$60x — 60(x — 3) = x(x — 3)$$

Теперь раскрываем скобки с обеих сторон:

$$60x — 60x + 180 = x^2 — 3x$$

Здесь видим, что термины $60x$ и $-60x$ взаимно сокращаются:

$$180 = x^2 — 3x$$

Теперь переносим все элементы на одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$x^2 — 3x — 180 = 0$$

3) Для решения квадратного уравнения применяем формулу дискриминанта. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В данном случае $a = 1$, $b = -3$, и $c = -180$, подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$$

Теперь находим корни уравнения, вычисляя квадратный корень из дискриминанта:

$$D = 729 = 27^2$$

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения для $a$, $b$, и $D$:

$$x_1=\frac{-(-3)-27}{2\cdot 1}=\frac{3-27}{2}=\frac{-24}{2}=-12$$

$$x_1 = \frac{-(-3) — 27}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$ $$x_2 = \frac{-(-3) + 27}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

Поскольку количество дней не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:

$$x = 15$$

Таким образом, время, необходимое для выполнения заказа, составляет $15 \, \text{дней}$.

Ответ: за $15 \, \text{дней}$.