ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 43 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Запишите с помощью букв следующие свойства неравенств для знаков $>,\le ,\ge$:

а) О прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа;

б) Об умножении обеих частей неравенства на одно и то же не равное нулю число.

а)  О прибавлении к обеим частям неравенства одного числа:

1) Если $a>b$, то $a+c>b+c$;

2) Если $a\le b$, то $a+c\le b+c$;

3) Если $a\ge b$, то $a+c\ge b+c$;

б)  Об умножении обеих частей неравенства на одно число:

1) Если $a>b$ и $c>0$, то $ac>bc$;

2) Если $a>b$ и $c<0$, то $ac<bc$;

3) Если $a\le b$ и $c>0$, то $ac\le bc$;

4) Если $a\le b$ и $c<0$, то $ac\ge bc$;

5) Если $a\ge b$ и $c>0$, то $ac\ge bc$;

6) Если $a\ge b$ и $c<0$, то $ac\le bc$.

а) Рассмотрим прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства. Пусть у нас есть неравенство:

$$a>b$$

Если мы прибавим одно и то же число $c$ к обеим частям неравенства, то получим:

$$a+c>b+c$$

Это верно, потому что если $a>b$, то прибавление одного и того же числа $c$ не изменит их порядок. Таким образом, неравенство сохраняет свою истинность.

Теперь рассмотрим случай, когда:

$$a\le b$$

Если мы добавим $c$ к обеим частям, то получим:

$$a+c\le b+c$$

Так как $a\le b$, добавление одинакового числа к обеим частям не изменяет их порядок, и неравенство остаётся верным.

Наконец, если:

$$a\ge b$$

И добавим $c$ к обеим частям, то получим:

$$a+c\ge b+c$$

Так как $a\ge b$, добавление одинакового числа $c$ также не изменяет порядок чисел, и неравенство остаётся верным.

Ответ:

1) Если $a>b$, то $a+c>b+c$;

2) Если $a\le b$, то $a+c\le b+c$;

3) Если $a\ge b$, то $a+c\ge b+c$;

4) Теперь рассмотрим умножение обеих частей неравенства на одно число $c$, которое не равно нулю.

Пусть у нас есть неравенство:

$$a>b$$

Если мы умножим обе части на $c$, то результат будет зависеть от знака числа $c$. Рассмотрим два случая.

Если $c>0$, то умножение на положительное число не изменяет порядок чисел, и мы получаем:

$$ac>bc$$

Это верно, так как если $a>b$, то после умножения обеих частей на положительное число $c$, неравенство остаётся таким же.

Если $c<0$, то умножение на отрицательное число изменяет порядок чисел. В этом случае неравенство меняет знак, и мы получаем:

$$ac<bc$$

1) Это верно, так как если $a>b$, то умножение на отрицательное число $c$ инвертирует знак неравенства.

Теперь рассмотрим случай:

$$a\le b$$

2) Если $c>0$, то умножение на положительное число сохраняет порядок:

$$ac\le bc$$

3) Если $c<0$, то умножение на отрицательное число инвертирует знак неравенства:

$$ac\ge bc$$

4) Теперь рассмотрим случай:

$$a\ge b$$

5) Если $c>0$, то умножение на положительное число сохраняет порядок:

$$ac\ge bc$$

6) Если $c<0$, то умножение на отрицательное число инвертирует знак неравенства:

$$ac\le bc$$

Ответ:

Если $a>b$ и $c>0$, то $ac>bc$;

Если $a>b$ и $c<0$, то $ac<bc$;

Если $a\le b$ и $c>0$, то $ac\le bc$;

Если $a\le b$ и $c<0$, то $ac\ge bc$;

Если $a\ge b$ и $c>0$, то $ac\ge bc$;

Если $a\ge b$ и $c<0$, то $ac\le bc$.