ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 429 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Товарный поезд был задержан в пути на $21 \, \text{мин}$, но на перегоне длиной $70 \, \text{км}$ он наверстал время, увеличив скорость на $10 \, \text{км/ч}$. Найдите скорость поезда в начале пути и на перегоне.

1) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость поезда в начале пути, тогда:

• $x + 10 \, \text{км/ч}$ — скорость поезда на перегоне;
• $\frac{70}{x} \, \text{ч}$ — время, которое поезд должен был затратить на перегон;
• $\frac{70}{x + 10} \, \text{ч}$ — время, которое поезд затратил на перегон;

2) Составим и решим уравнение, учитывая, что $21 \, \text{мин} = \frac{21}{60} \, \text{ч}$:

$$\frac{70}{x+10}+\frac{21}{60}=\frac{70}{x}\mathrm{\mid }:7;$$

$$\frac{70}{x + 10} + \frac{21}{60} = \frac{70}{x} \quad | : 7;$$ $$\frac{10}{x+10}+\frac{3}{60}=\frac{10}{x}\mathrm{\mid }\cdot 60x(x+10);$$

$$\frac{10}{x + 10} + \frac{3}{60} = \frac{10}{x} \quad | \cdot 60x(x + 10);$$ $$10\cdot 60x+3x(x+10)=10\cdot 60(x+10);$$

$$10 \cdot 60x + 3x(x + 10) = 10 \cdot 60(x + 10);$$ $$600x+3x^2+30x=600x+6000;$$

$$600x + 3x^2 + 30x = 600x + 6000;$$ $$3x^2+600x-600x+30x-6000=0;$$

$$3x^2 + 600x — 600x + 30x — 6000 = 0;$$ $$3x^2+30x-6000=0\mathrm{\mid }:3;$$

$$3x^2 + 30x — 6000 = 0 \quad | : 3;$$ $$x^2+10x-2000=0;$$

$$x^2 + 10x — 2000 = 0;$$ $$D={10}^2+4\cdot 2000=100+8000=8100={90}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 10^2 + 4 \cdot 2000 = 100 + 8000 = 8100 = 90^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-10 — 90}{2} = -50 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-10 + 90}{2} = 40;$$

3) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -50, \text{ значит } x = 40 \, (\text{км/ч});$$

4) Скорость поезда на перегоне:

$$40 + 10 = 50 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $40 \, \text{км/ч}$ и $50 \, \text{км/ч}.$

Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость поезда в начале пути. Это означает, что на первой части пути, которая равна $70 \, \text{км}$, поезд движется со скоростью $x \, \text{км/ч}$. Время, которое он затрачивает на этот участок пути, можно выразить как $\frac{70}{x} \, \text{ч}$.

На второй части пути, также равной $70 \, \text{км}$, поезд увеличивает скорость на $10 \, \text{км/ч}$. То есть на втором участке пути его скорость составляет $x + 10 \, \text{км/ч}$. Время, которое поезд затрачивает на второй участок пути, будет равно $\frac{70}{x + 10} \, \text{ч}$.

Из условия задачи известно, что товарный поезд был задержан в пути на $21 \, \text{мин}$. Для удобства работы с уравнениями переведем это время в часы: $21 \, \text{мин} = \frac{21}{60} \, \text{ч}$.

Составим уравнение для общей разницы во времени между тем, сколько поезд затратил времени, и тем, сколько времени он бы потратил без задержки. Из условия задачи известно, что на перегоне поезд наверстал задержку, увеличив скорость на $10 \, \text{км/ч}$, и прибыл вовремя. Следовательно, разница в времени между фактическим временем в пути и временем в пути без задержки равна задержке. Это можно выразить следующим образом:

$$\frac{70}{x + 10} + \frac{21}{60} = \frac{70}{x}$$

Упростим уравнение. Для этого сначала умножим обе части на 60, чтобы избавиться от дробей с минутами:

$$60 \cdot \left( \frac{70}{x + 10} + \frac{21}{60} \right) = 60 \cdot \frac{70}{x}$$

Получаем:

$$60 \cdot \frac{70}{x + 10} + 21 = 60 \cdot \frac{70}{x}$$

Теперь, умножив обе стороны на $x(x + 10)$ для избавления от дробей, получаем:

$$10 \cdot 60x + 3x(x + 10) = 10 \cdot 60(x + 10)$$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$600x + 3x^2 + 30x = 600x + 6000$$

Сократим одинаковые термины с обеих сторон уравнения:

$$3x^2 + 600x — 600x + 30x — 6000 = 0$$ $$3x^2 + 30x — 6000 = 0$$

Разделим все члены на 3 для упрощения:

$$x^2 + 10x — 2000 = 0$$

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ можно вычислить по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 10$, и $c = -2000$. Подставляем значения:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100$$

Так как $D = 8100 = 90^2$, то у уравнения есть два корня, которые можно найти по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-10 — 90}{2} = -50, \quad x_2 = \frac{-10 + 90}{2} = 40$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то принимаем только положительное значение:

$$x = 40 \, \text{км/ч}$$

Скорость поезда на перегоне составляет:

$$x + 10 = 40 + 10 = 50 \, \text{км/ч}$$

Ответ: $40 \, \text{км/ч}$ и $50 \, \text{км/ч}$.