ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 428 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми $140 \, \text{км}$, выехал поезд. В середине пути он был задержан на $20 \, \text{мин}$, но, увеличив скорость на $20 \, \text{км/ч}$, прибыл в город $B$ без опоздания. Найдите первоначальную скорость поезда.

1) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — первоначальная скорость поезда, тогда:

• $x + 20 \, \text{км/ч}$ — скорость поезда на второй половине пути;
• $\frac{70}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на первую половину пути;
• $\frac{70}{x + 20} \, \text{ч}$ — время, затраченное на вторую половину пути;
• $\frac{140}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь без задержки;

2) Составим и решим уравнение, учитывая, что $24 \, \text{мин} = \frac{2}{5} \, \text{ч}$:

$$\frac{70}{x}+\frac{2}{5}+\frac{70}{x+20}=\frac{140}{x};$$

$$\frac{70}{x} + \frac{2}{5} + \frac{70}{x + 20} = \frac{140}{x};$$

$$\frac{70}{x}+\frac{2}{5}+\frac{70}{x+20}-\frac{140}{x}=0;$$

$$\frac{2}{5}+\frac{70}{x+20}-\frac{70}{x}=0\mathrm{\mid }\cdot 5x(x+20);$$

$$2x(x+20)+70\cdot 5x-70\cdot 5(x+20)=0;$$

$$2x^2+40x+350x-350x-7000=0;$$

$$2x^2+40x-7000=0\mathrm{\mid }:2;$$

$$x^2+20x-3500=0;$$

$$D={20}^2+4\cdot 3500=400+14000=14400={120}^2,\text{ тогда: }$$

$$x_1 = \frac{-20 — 120}{2} = -70 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-20 + 120}{2} = 50;$$

3) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -70, \text{ значит } x = 50 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $50 \, \text{км/ч}.$

1) Пуст $x \, \text{км/ч}$ — первоначальная скорость поезда, тогда:

• $x + 20 \, \text{км/ч}$ — скорость поезда на второй половине пути;
• $\frac{70}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на первую половину пути;
• $\frac{70}{x + 20} \, \text{ч}$ — время, затраченное на вторую половину пути;
• $\frac{140}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь без задержки;

2) Составим и решим уравнение, учитывая, что $24 \, \text{мин} = \frac{2}{5} \, \text{ч}$:

$$\frac{70}{x} + \frac{2}{5} + \frac{70}{x + 20} = \frac{140}{x};$$

Приводим все элементы к одной стороне уравнения:

$$\frac{70}{x} + \frac{2}{5} + \frac{70}{x + 20} — \frac{140}{x} = 0;$$

Теперь необходимо упростить дроби. Для этого умножим обе стороны уравнения на наименьший общий знаменатель, которым является $5x(x + 20)$

$$\frac{2}{5} + \frac{70}{x + 20} — \frac{70}{x} = 0 \quad | \cdot 5x(x + 20);$$

Выполнив умножение на $5x(x + 20)$ для всех членов уравнения:

$$2x(x + 20) + 70 \cdot 5x — 70 \cdot 5(x + 20) = 0;$$

Теперь раскрываем скобки и упрощаем:

$$2x^2 + 40x + 350x — 350x — 7000 = 0;$$

После упрощения получаем уравнение:

$$2x^2 + 40x — 7000 = 0 \quad | : 2;$$

Делим все члены на 2:

$$x^2 + 20x — 3500 = 0;$$

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = 20^2 + 4 \cdot 3500 = 400 + 14000 = 14400 = 120^2;$$

Находим корни уравнения по формуле:

$$x_1 = \frac{-20 — 120}{2} = -70 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-20 + 120}{2} = 50;$$

3) Скорость не может быть отрицательной, так как это физическая величина:

$$x \neq -70, \text{ значит } x = 50 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $50 \, \text{км/ч}.$