ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 427 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите задачу (426–435).

Из города в посёлок, расстояние до которого $40 \, \text{км}$, одновременно выехали автобус и автомобиль. Скорость автомобиля на $30 \, \text{км/ч}$ больше скорости автобуса, поэтому он приехал в посёлок на $40 \, \text{мин}$ раньше автобуса. Какова скорость автобуса?

1) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость движения автобуса, тогда:

• $x + 30 \, \text{км/ч}$ — скорость движения автомобиля;
• $\frac{40}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь автобусом;
• $\frac{40}{x + 30} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь автомобилем;

2) Составим и решим уравнение, учитывая, что $40 \, \text{мин} = \frac{2}{3} \, \text{ч}$:

$$\frac{40}{x}-\frac{40}{x+30}=\frac{2}{3}\mathrm{\mid }:2;$$

$$\frac{40}{x} — \frac{40}{x + 30} = \frac{2}{3} \quad | : 2;$$ $$\frac{20}{x}-\frac{20}{x+30}=\frac{1}{3}\mathrm{\mid }\cdot 3x(x+30);$$

$$\frac{20}{x} — \frac{20}{x + 30} = \frac{1}{3} \quad | \cdot 3x(x + 30);$$ $$20\cdot 3(x+30)-20\cdot 3x=x(x+30);$$

$$20 \cdot 3(x + 30) — 20 \cdot 3x = x(x + 30);$$ $$60x+1800-60x=x^2+30x;$$

$$60x + 1800 — 60x = x^2 + 30x;$$ $$1800=x^2+30x;$$

$$1800 = x^2 + 30x;$$ $$x^2+30x-1800=0;$$

$$x^2 + 30x — 1800 = 0;$$ $$D={30}^2+4\cdot 1800=900+7200=8100={90}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 30^2 + 4 \cdot 1800 = 900 + 7200 = 8100 = 90^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-30 — 90}{2} = -60 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-30 + 90}{2} = 30;$$

3) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -60, \text{ значит } x = 30 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $30 \, \text{км/ч}.$

Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость движения автобуса, тогда:

• $x + 30 \, \text{км/ч}$ — скорость движения автомобиля, так как его скорость на $30 \, \text{км/ч}$ больше, чем у автобуса;
• $\frac{40}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь автобусом. Время на путь для автобуса вычисляется как общее расстояние (40 км), делённое на скорость $x$ (км/ч), то есть $\frac{40}{x}$;
• $\frac{40}{x + 30} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь автомобилем. Время на путь для автомобиля вычисляется аналогично, только его скорость равна $x + 30 \, \text{км/ч}$, следовательно, время для автомобиля равно $\frac{40}{x + 30}$.

Составим и решим уравнение, учитывая, что разница во времени между автобусом и автомобилем составляет $40 \, \text{мин} = \frac{2}{3} \, \text{ч}$:

$$\frac{40}{x} — \frac{40}{x + 30} = \frac{2}{3}.$$

Теперь умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби в правой части:

$$3 \cdot \left( \frac{40}{x} — \frac{40}{x + 30} \right) = 3 \cdot \frac{2}{3},$$ $$\frac{120}{x} — \frac{120}{x + 30} = 2.$$

Умножим обе части на $x(x + 30)$, чтобы избавиться от дробей:

$$x(x + 30) \cdot \frac{120}{x} — x(x + 30) \cdot \frac{120}{x + 30} = 2 \cdot x(x + 30),$$ $$120(x + 30) — 120x = 2x(x + 30).$$

Раскроем скобки:

$$120x + 3600 — 120x = 2x^2 + 60x.$$

Упрощаем:

$$3600 = 2x^2 + 60x.$$

Теперь перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

$$2x^2 + 60x — 3600 = 0.$$

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить:

$$x^2 + 30x — 1800 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = 30^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 900 + 7200 = 8100.$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{8100} = 90.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-30 — 90}{2} = \frac{-120}{2} = -60 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-30 + 90}{2} = \frac{60}{2} = 30.$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $x = -60$ — это недопустимо, а правильное решение $x = 30 \, (\text{км/ч})$.

Ответ: $30 \, \text{км/ч}.$