ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 426 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите задачу (426–435).

Чтобы проехать $36\text{км}$ по просёлочной дороге и $9\text{км}$ по шоссе, велосипедисту потребуется на $1\text{ч}$ больше, чем если бы он ехал всё это расстояние по шоссе. Скорость велосипедиста по шоссе на $6\text{км/ч}$ больше его скорости по просёлочной дороге. Найдите скорость велосипедиста по шоссе.

1) Пусть $x\text{км/ч}$ — скорость велосипедиста по шоссе, тогда:

• $x+6\text{км/ч}$ — скорость велосипедиста по просёлочной дороге;
• $\frac{9}{x}\text{ч}$ — время, затраченное на путь по шоссе;
• $\frac{36}{x+6}\text{ч}$ — время, затраченное на путь по просёлочной дороге;
• $\frac{9+36}{x}\text{ч}$ — время, затраченное на путь только по шоссе;

2) Составим и решим уравнение:

$$\frac{36}{x-6}+\frac{9}{x}-\frac{9+36}{x}=1;$$

$$$$$$\frac{36}{x-6}-\frac{36}{x}=1\mathrm{\mid }\cdot x(x-6);$$

$$$$$$36x-36(x-6)=x(x-6);$$

$$$$$$36x-36x+216=x^2-6x;$$

$$$$$$216=x^2-6x;$$

$$$$$$x^2-6x-216=0;$$

$$$$$$D=6^2+4\cdot 216=36+864=900={30}^2,\text{ тогда: }$$

$$$$$$x_1=\frac{6-30}{2}=-12\text{и}{x}_2=\frac{6+30}{2}=18;$$

3) Скорость не может быть отрицательной:

$$x\mathrm{\ne }-12,\text{ значит }x=18(\text{км/ч});$$

Ответ: $18\text{км/ч}\mathrm{.}$

Пусть $x\text{км/ч}$ — скорость велосипедиста по шоссе, тогда:

• $x+6\text{км/ч}$ — скорость велосипедиста по просёлочной дороге, так как скорость на просёлочной дороге на $6\text{км/ч}$ меньше, чем на шоссе;
• $\frac{9}{x}\text{ч}$ — время, затраченное на путь по шоссе, так как путь по шоссе составляет $9\text{км}$, а скорость велосипедиста по шоссе $x\text{км/ч}$, следовательно, время для шоссе равно $\frac{9}{x}$;
• $\frac{36}{x+6}\text{ч}$ — время, затраченное на путь по просёлочной дороге, так как путь по просёлочной дороге составляет $36\text{км}$, а скорость по просёлочной дороге равна $x+6\text{км/ч}$, следовательно, время для просёлочной дороги равно $\frac{36}{x+6}$.

Составим уравнение, учитывая, что разница между временем, затраченным на оба пути (по шоссе и по просёлочной дороге), составляет $1\text{ч}$, так как общий путь по шоссе и по просёлочной дороге на $1\text{ч}$ больше, чем если бы велосипедист ехал всё время по шоссе. Это можно выразить через разницу во времени:

$$\frac{36}{x+6}+\frac{9}{x}-\frac{9+36}{x}=1.$$

Упростим:

$$\frac{36}{x+6}-\frac{36}{x}=1.$$

Теперь умножим обе части уравнения на $x(x+6)$, чтобы избавиться от дробей:

$$x(x+6)\cdot \frac{36}{x+6}-x(x+6)\cdot \frac{36}{x}=x(x+6)\cdot 1.$$

Это приведет к следующему:

$$36x-36(x-6)=x(x+6)\mathrm{.}$$

Раскроем скобки:

$$36x-36x+216=x^2-6x;$$

Упрощаем:

$$216=x^2-6x\mathrm{.}$$

Теперь перенесем все элементы на одну сторону:

$$x^2-6x-216=0.$$

Найдем дискриминант:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-216)=36+864=900.$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{900}=30.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-6)-30}{2\cdot 1}=\frac{6-30}{2}=\frac{-24}{2}=-12\text{и}{x}_2=\frac{-(-6)+30}{2\cdot 1}=\frac{6+30}{2}=\frac{36}{2}=18.$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $x=-12$ — это недопустимо. Следовательно, правильный ответ $x=18(\text{км/ч})$.

Ответ: $18\text{км/ч};$