ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 425 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Дорога от посёлка Аникееево до посёлка Баковка состоит из двух участков: $6 \, \text{км}$ подъёма и $5 \, \text{км}$ спуска. Велосипедист доехал от Аникееево до Баковки за $1 \, \text{ч}$. Его скорость при подъёме на $12 \, \text{км/ч}$ меньше, чем при спуске. Найдите скорость велосипедиста при подъёме и при спуске.

б) Пешеход прошёл путь от Баковки до Аникееево (см. задачу а) за $2 \, \text{ч} \, 40 \, \text{мин}$. Его скорость при спуске на $3 \, \text{км/ч}$ больше, чем при подъёме. За какое время пешеход пройдёт обратный путь?

Указание. Обозначьте буквой $x$ скорость пешехода (в $\text{км/ч}$) на одном из участках пути.

а) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость велосипедиста при подъёме, тогда:

• $x + 12 \, \text{км/ч}$ — скорость велосипедиста при спуске;
• $\frac{6}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на подъём;
• $\frac{5}{x + 12} \, \text{ч}$ — время, затраченное на спуск;

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{6}{x}+\frac{5}{x+12}=1\mathrm{\mid }\cdot x(x+12);$$

$$\frac{6}{x} + \frac{5}{x + 12} = 1 \quad | \cdot x(x + 12);$$ $$6(x+12)+5x=x(x+12);$$

$$6(x + 12) + 5x = x(x + 12);$$ $$6x+72+5x=x^2+12x;$$

$$6x + 72 + 5x = x^2 + 12x;$$ $$x^2+12x-6x-5x-72=0;$$

$$x^2 + 12x — 6x — 5x — 72 = 0;$$ $$x^2+x-72=0;$$

$$x^2 + x — 72 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 72=1+288=289={17}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289 = 17^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-1 — 17}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 17}{2} = 8;$$

2) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -9, \text{ значит } x = 8 \, (\text{км/ч});$$

3) Скорость велосипедиста при спуске:

$$8 + 12 = 20 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $8 \, \text{км/ч}; \, 20 \, \text{км/ч}.$

б) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость пешехода при подъёме, тогда:

• $x + 3 \, \text{км/ч}$ — скорость пешехода при спуске;
• $\frac{5}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на подъём;
• $\frac{6}{x + 3} \, \text{ч}$ — время, затраченное на спуск;
• $\frac{6}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на подъём на обратном пути;
• $\frac{5}{x + 3} \, \text{ч}$ — время, затраченное на спуск на обратном пути;

1) Составим и решим уравнение, учитывая, что $2 \, \text{ч} \, 40 \, \text{мин} = 2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \, \text{ч}$:

$$\frac{6}{x+3}+\frac{5}{x}=\frac{8}{3}\mathrm{\mid }\cdot 3x(x+3);$$

$$\frac{6}{x + 3} + \frac{5}{x} = \frac{8}{3} \quad | \cdot 3x(x + 3);$$ $$6\cdot 3x+5\cdot 3(x+3)=8x(x+3);$$

$$6 \cdot 3x + 5 \cdot 3(x + 3) = 8x(x + 3);$$ $$18x+15x+45=8x^2+24x;$$

$$18x + 15x + 45 = 8x^2 + 24x;$$ $$8x^2+24x-18x-15x-45=0;$$

$$8x^2 + 24x — 18x — 15x — 45 = 0;$$ $$8x^2-9x-45=0;$$

$$8x^2 — 9x — 45 = 0;$$ $$D=9^2+4\cdot 8\cdot 45=81+1440=1521={39}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 9^2 + 4 \cdot 8 \cdot 45 = 81 + 1440 = 1521 = 39^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-9 — 39}{2 \cdot 8} = \frac{-30}{16} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-9 + 39}{2 \cdot 8} = \frac{48}{16} = 3;$$

2) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -\frac{30}{16}, \text{ значит } x = 3 \, (\text{км/ч});$$

3) Время, затраченное пешеходом на обратный путь:

$$\frac{6}{3} + \frac{5}{3 + 3} = 2 + \frac{5}{6} \, (\text{ч}) = 2 \, \text{ч } 50 \, \text{мин};$$

Ответ: $2 \, \text{часа } 50 \, \text{минут}.$

а) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость велосипедиста при подъёме, тогда:

• $x + 12 \, \text{км/ч}$ — скорость велосипедиста при спуске, так как скорость при спуске на 12 км/ч больше, чем при подъёме;
• $\frac{6}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на подъём. Время на подъём можно найти как расстояние (6 км) делённое на скорость подъёма $x$, то есть $\frac{6}{x}$;
• $\frac{5}{x + 12} \, \text{ч}$ — время, затраченное на спуск. Время на спуск рассчитывается аналогично, но с использованием скорости $x + 12$, то есть $\frac{5}{x + 12}$.

Составим и решим уравнение, учитывая, что общее время на весь путь составило $1 \, \text{ч}$:

$$\frac{6}{x} + \frac{5}{x + 12} = 1.$$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на $x(x + 12)$, чтобы избавиться от дробей:

$$x(x + 12) \cdot \frac{6}{x} + x(x + 12) \cdot \frac{5}{x + 12} = 1 \cdot x(x + 12).$$

Решаем:

$$6(x + 12) + 5x = x(x + 12).$$

Раскроем скобки:

$$6x + 72 + 5x = x^2 + 12x.$$

Теперь перенесем все элементы на одну сторону:

$$6x + 72 + 5x — x^2 — 12x = 0.$$

Упростим:

$$-x^2 — x + 72 = 0.$$

Умножим на $-1$ для упрощения:

$$x^2 + x — 72 = 0.$$

Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289.$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{289} = 17.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — 17}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 17}{2} = \frac{16}{2} = 8.$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $x = -9$ — это недопустимо, а правильное решение $x = 8 \, (\text{км/ч})$.

Скорость велосипедиста при спуске:

$$x + 12 = 8 + 12 = 20 \, (\text{км/ч}).$$

Ответ: $8 \, \text{км/ч}; \, 20 \, \text{км/ч}.$

б) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость пешехода при подъёме, тогда:

$x + 3 \, \text{км/ч}$ — скорость пешехода при спуске, так как его скорость при спуске на $3 \, \text{км/ч}$ больше, чем при подъёме;

$\frac{5}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на подъём. Время на подъём можно найти как расстояние $5 \, \text{км}$, делённое на скорость подъёма $x$, то есть $\frac{5}{x}$;

$\frac{6}{x + 3} \, \text{ч}$ — время, затраченное на спуск. Время на спуск рассчитывается как $\frac{6}{x + 3}$, так как скорость на спуске $x + 3 \, \text{км/ч}$;

$\frac{6}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на подъём на обратном пути;

$\frac{5}{x + 3} \, \text{ч}$ — время, затраченное на спуск на обратном пути.

Составим и решим уравнение, учитывая, что общее время на путь туда и обратно составило $2 \, \text{ч} \, 40 \, \text{мин} = 2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \, \text{ч}$:

$$\frac{6}{x + 3} + \frac{5}{x} = \frac{8}{3}.$$

Умножим обе части уравнения на $3x(x + 3)$, чтобы избавиться от дробей:

$$3x(x + 3) \cdot \frac{6}{x + 3} + 3x(x + 3) \cdot \frac{5}{x} = \frac{8}{3} \cdot 3x(x + 3).$$

Решаем:

$$18x + 15(x + 3) = 8x(x + 3).$$

Раскроем скобки:

$$18x + 15x + 45 = 8x^2 + 24x.$$

Упрощаем:

$$33x + 45 = 8x^2 + 24x.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$8x^2 + 24x — 33x — 45 = 0.$$

Упрощаем:

$$8x^2 — 9x — 45 = 0.$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-45) = 81 + 1440 = 1521 = 39^2.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-9) — 39}{2 \cdot 8} = \frac{9 — 39}{16} = \frac{-30}{16} = -1.875 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-(-9) + 39}{2 \cdot 8} = \frac{9 + 39}{16} = \frac{48}{16} = 3.$$

Так как скорость не может быть отрицательной, отбрасываем $x_1 = -1.875$, оставляем $x_2 = 3 \, (\text{км/ч})$.

Время, затраченное пешеходом на обратный путь:

$$\frac{6}{3} + \frac{5}{3 + 3} = 2 + \frac{5}{6} \, (\text{ч}) = 2 \, \text{ч } 50 \, \text{мин}.$$

Ответ: $2 \, \text{часа } 50 \, \text{минут}.$