ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 424 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Несколько человек договорились оплатить экскурсию, разделив её стоимость, 720 р., поровну. Однако в назначенный день на экскурсию пришли на 3 человека меньше, поэтому каждому пришлось заплатить на 40 р. больше, чем предполагалось. Сколько человек участвовало в экскурсии?
б) Одна поездка на автобусе в город и обратно обходится Диме на 30 р. дороже, чем на электричке. У Димы есть 900 р., которые он может потратить на дорогу. Он подсчитал, что, пользуясь электричкой, он может сделать на 1 поездку больше, чем пользуясь автобусом. Найдите стоимость поездки в город и обратно на электричке.

а) Пусть $x \, \text{чел}$ — участвовало в экскурсии, тогда:

$x + 3 \, \text{чел}$ — планировало участвовать в экскурсии;

$\frac{720}{x} \, \text{р}$ — заплатил каждый человек за экскурсию;

$\frac{720}{x + 3} \, \text{р}$ — планировал заплатить каждый человек за экскурсию;

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{720}{x}-\frac{720}{x+3}=40\mathrm{\mid }:10;$$

$$\frac{720}{x} — \frac{720}{x + 3} = 40 \quad | : 10;$$ $$\frac{72}{x}-\frac{72}{x+3}=4\mathrm{\mid }\cdot x(x+3);$$

$$\frac{72}{x} — \frac{72}{x + 3} = 4 \quad | \cdot x(x + 3);$$ $$72(x+3)-72x=4x(x+3);$$

$$72(x + 3) — 72x = 4x(x + 3);$$ $$72x+216-72x=4x^2+12x;$$

$$72x + 216 — 72x = 4x^2 + 12x;$$ $$216=4x^2+12x;$$

$$216 = 4x^2 + 12x;$$ $$4x^2+12x-216=0\mathrm{\mid }:4;$$

$$4x^2 + 12x — 216 = 0 \quad | : 4;$$ $$x^2+3x-54=0;$$

$$x^2 + 3x — 54 = 0;$$ $$D=3^2+4\cdot 54=9+216=225={15}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 54 = 9 + 216 = 225 = 15^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-3 — 15}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = 6;$$

2) Количество людей не может быть отрицательным:

$$x \neq -9, \text{ значит } x = 6 \, (\text{чел});$$

Ответ: $6 \, \text{человек}.$

б) Пусть $x \, \text{р}$ — стоимость одной поездки на электричке, тогда:

• $x + 30 \, \text{р}$ — стоимость одной поездки на автобусе;
• $\frac{900}{x} \, \text{шт}$ — количество поездок на электричке;
• $\frac{900}{x + 30} \, \text{шт}$ — количество поездок на автобусе;

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{900}{x}-\frac{900}{x+30}=1\mathrm{\mid }\cdot x(x+30);$$

$$\frac{900}{x} — \frac{900}{x + 30} = 1 \quad | \cdot x(x + 30);$$ $$900(x+30)-900x=x(x+30);$$

$$900(x + 30) — 900x = x(x + 30);$$ $$900x+27000-900x=x^2+30x;$$

$$900x + 27000 — 900x = x^2 + 30x;$$ $$27000=x^2+30x;$$

$$27000 = x^2 + 30x;$$ $$x^2+30x-27000=0;$$

$$x^2 + 30x — 27000 = 0;$$ $$D={30}^2+4\cdot 27000=900+108000=108900={330}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 30^2 + 4 \cdot 27000 = 900 + 108000 = 108900 = 330^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-30 — 330}{2} = -180 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-30 + 330}{2} = 150;$$

2) Стоимость поездки не может быть отрицательной:

$$x \neq -180, \text{ значит } x = 150 \, (\text{р});$$

Ответ: $150 \, \text{рублей}.$

а) Пусть $x \, \text{чел}$ — участвовало в экскурсии, тогда:

• $x + 3 \, \text{чел}$ — планировало участвовать в экскурсии, так как в конце количество участников увеличилось на 3 человека;
• $\frac{720}{x} \, \text{р}$ — заплатил каждый человек за экскурсию, так как общая сумма $720 \, \text{р}$ делится на количество людей $x$, и каждый платил по $\frac{720}{x} \, \text{р}$;
• $\frac{720}{x + 3} \, \text{р}$ — планировал заплатить каждый человек за экскурсию, если бы участвовало $x + 3$ человек.

Составим и решим уравнение, учитывая, что разница между планируемым и фактическим количеством заплаченных рублей составляет $40 \, \text{р}$, так как разница между суммой, которую должен был заплатить каждый, и фактически уплаченной составляет $40 \, \text{р}$:

$$\frac{720}{x} — \frac{720}{x + 3} = 40 \quad | : 10.$$

Теперь разделим обе части уравнения на $10$, чтобы упростить:

$$\frac{72}{x} — \frac{72}{x + 3} = 4.$$

Умножим обе части уравнения на $x(x + 3)$, чтобы избавиться от дробей:

$$x(x + 3) \cdot \frac{72}{x} — x(x + 3) \cdot \frac{72}{x + 3} = 4 \cdot x(x + 3).$$

Это приведет к следующему:

$$72(x + 3) — 72x = 4x(x + 3).$$

Раскроем скобки:

$$72x + 216 — 72x = 4x^2 + 12x.$$

Упрощаем:

$$216 = 4x^2 + 12x.$$

Теперь перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

$$4x^2 + 12x — 216 = 0.$$

Разделим обе части уравнения на $4$, чтобы упростить:

$$x^2 + 3x — 54 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225.$$

Теперь извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{225} = 15.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-3 — 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6.$$

Так как количество людей не может быть отрицательным, то $x = -9$ — это не подходит. Следовательно, правильный ответ $x = 6 \, (\text{чел})$.

Ответ: $6 \, \text{человек}.$

б) Пусть $x \, \text{р}$ — стоимость одной поездки на электричке, тогда:

• $x + 30 \, \text{р}$ — стоимость одной поездки на автобусе, так как стоимость поездки на автобусе на $30 \, \text{р}$ больше, чем на электричке;
• $\frac{900}{x} \, \text{шт}$ — количество поездок на электричке, так как общее количество поездок $900$ делится на стоимость одной поездки $x$ (в рублях), и мы получаем количество поездок;
• $\frac{900}{x + 30} \, \text{шт}$ — количество поездок на автобусе, так как стоимость одной поездки на автобусе равна $x + 30$, следовательно, количество поездок на автобусе равно $\frac{900}{x + 30}$.

Составим и решим уравнение, учитывая, что разница в количестве поездок составляет $1$:

$$\frac{900}{x} — \frac{900}{x + 30} = 1 \quad | \cdot x(x + 30).$$

Умножаем обе части уравнения на $x(x + 30)$, чтобы избавиться от дробей:

$$900(x + 30) — 900x = x(x + 30).$$

Раскроем скобки:

$$900x + 27000 — 900x = x^2 + 30x.$$

Упрощаем:

$$27000 = x^2 + 30x.$$

Теперь перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

$$x^2 + 30x — 27000 = 0.$$

Найдем дискриминант:

$$D = 30^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-27000) = 900 + 108000 = 108900.$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{108900} = 330.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-30 — 330}{2} = \frac{-360}{2} = -180 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-30 + 330}{2} = \frac{300}{2} = 150.$$

Так как стоимость не может быть отрицательной, отбрасываем $x_1 = -180$, оставляем $x_2 = 150 \, (\text{р})$.

Ответ: $150 \, \text{рублей}.$