ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 423 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Ответьте на вопрос задачи, составив и решив уравнение (423—425).
а) Книгу в $30$ страниц Катя может прочитать на $15 \, \text{мин}$ быстрее Оли. Скорость чтения Кати в $1.5$ раза больше скорости, с которой читает Оля. Сколько страниц в час читает каждая девочка?

б) Расстояние от дома до школы равно $1200 \, \text{м}$. Таня проходит это расстояние на $5 \, \text{мин}$ быстрее, чем её младший брат, так как её скорость на $20 \, \text{м/мин}$ больше скорости брата. Сколько минут идёт от дома до школы Таня и сколько её брат?

а) Пусть $x \, \text{стр/ч}$ — скорость чтения Оли, тогда:

• $1.5x \, \text{стр/ч}$ — скорость чтения Кати;
• $\frac{30}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на чтение Олей;
• $\frac{30}{1.5x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на чтение Катей;

1) Составим и решим уравнение, учитывая, что $15 \, \text{мин} = \frac{1}{4} \, \text{ч}$:

$$\frac{30}{x}-\frac{30}{1.5x}=\frac{1}{4};$$

$$\frac{30}{x} — \frac{30}{1.5x} = \frac{1}{4};$$ $$\frac{30}{x}-\frac{20}{x}=\frac{1}{4};$$

$$\frac{30}{x} — \frac{20}{x} = \frac{1}{4};$$ $$\frac{10}{x}=\frac{1}{4}\mathrm{\mid }\cdot 4x;$$

$$\frac{10}{x} = \frac{1}{4} \quad | \cdot 4x;$$ $$4 \cdot 10 = x, \text{ отсюда } x = 40 \, (\text{стр/ч});$$

2) Скорость чтения Кати:

$$1.5 \cdot 40 = 60 \, (\text{стр/ч});$$

Ответ: $40 \, \text{стр/ч}; \, 60 \, \text{стр/ч}.$

б) Пусть $x \, \text{м/мин}$ — скорость движения брата Тани, тогда:

• $x + 20 \, \text{м/мин}$ — скорость движения Тани;
• $\frac{1200}{x} \, \text{мин}$ — время, затраченное на путь братом Тани;
• $\frac{1200}{x + 20} \, \text{мин}$ — время, затраченное на путь Таней;

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{1200}{x}-\frac{1200}{x+20}=5\mathrm{\mid }\cdot x(x+20);$$

$$\frac{1200}{x} — \frac{1200}{x + 20} = 5 \quad | \cdot x(x + 20);$$ $$1200(x+20)-1200x=5x(x+20);$$

$$1200(x + 20) — 1200x = 5x(x + 20);$$ $$1200x+24000-1200x=5x^2+100x;$$

$$1200x + 24000 — 1200x = 5x^2 + 100x;$$ $$24000=5x^2+100x;$$

$$24000 = 5x^2 + 100x;$$ $$5x^2+100x-24000=0\mathrm{\mid }:5;$$

$$5x^2 + 100x — 24000 = 0 \quad | : 5;$$ $$x^2+20x-4800=0;$$

$$x^2 + 20x — 4800 = 0;$$ $$D={20}^2+4\cdot 4800=400+19200=19600={140}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 20^2 + 4 \cdot 4800 = 400 + 19200 = 19600 = 140^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-20 — 140}{2} = -80 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-20 + 140}{2} = 60;$$

2) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -80, \text{ значит } x = 60 \, (\text{м/мин});$$

3) Время, затраченное на путь Таней:

$$\frac{1200}{60 + 20} = \frac{1200}{80} = 15 \, (\text{мин});$$

4) Время, затраченное на путь братом Тани:

$$\frac{1200}{60} = 20 \, (\text{мин});$$

Ответ: $15 \, \text{минут}; \, 20 \, \text{минут}.$

а) Пусть $x \, \text{стр/ч}$ — скорость чтения Оли, тогда:

• $1.5x \, \text{стр/ч}$ — скорость чтения Кати, так как скорость Кати в $1.5$ раза больше, чем у Оли;
• $\frac{30}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на чтение Олей, так как общее количество страниц $30$ делится на скорость $x$ (страниц в час), следовательно, время будет равно $\frac{30}{x}$;
• $\frac{30}{1.5x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на чтение Катей, так как скорость Кати в $1.5$ раза больше, чем у Оли, следовательно, время будет равно $\frac{30}{1.5x}$.

Теперь составим уравнение, учитывая, что разница во времени между Кати и Олей составляет $15 \, \text{мин} = \frac{1}{4} \, \text{ч}$:

$$\frac{30}{x} — \frac{30}{1.5x} = \frac{1}{4}.$$

Для упрощения, выразим $\frac{30}{1.5x}$ как $\frac{20}{x}$, потому что $\frac{30}{1.5x} = \frac{20}{x}$. Теперь у нас следующее уравнение:

$$\frac{30}{x} — \frac{20}{x} = \frac{1}{4}.$$

Упростим левую часть уравнения:

$$\frac{10}{x} = \frac{1}{4}.$$

Теперь умножим обе части уравнения на $4x$, чтобы избавиться от дробей:

$$4 \cdot 10 = x.$$

Таким образом, получаем:

$$x = 40 \, (\text{стр/ч}).$$

Теперь, зная скорость чтения Оли, находим скорость Кати:

$$1.5 \cdot 40 = 60 \, (\text{стр/ч}).$$

Ответ: $40 \, \text{стр/ч}; \, 60 \, \text{стр/ч}.$

б) Пусть $x \, \text{м/мин}$ — скорость движения брата Тани, тогда:

• $x + 20 \, \text{м/мин}$ — скорость движения Тани, так как её скорость на $20 \, \text{м/мин}$ больше, чем у её брата;
• $\frac{1200}{x} \, \text{мин}$ — время, затраченное на путь братом Тани, так как расстояние $1200 \, \text{м}$ делится на скорость $x$ (м/мин), следовательно, время будет равно $\frac{1200}{x}$;
• $\frac{1200}{x + 20} \, \text{мин}$ — время, затраченное на путь Таней, так как её скорость равна $x + 20 \, \text{м/мин}$, следовательно, время будет равно $\frac{1200}{x + 20}$.

Теперь составим уравнение, учитывая, что разница во времени между Танией и её братом составляет $5 \, \text{мин}$:

$$\frac{1200}{x} — \frac{1200}{x + 20} = 5.$$

Умножим обе части уравнения на $x(x + 20)$, чтобы избавиться от дробей:

$$x(x + 20) \cdot \frac{1200}{x} — x(x + 20) \cdot \frac{1200}{x + 20} = 5 \cdot x(x + 20).$$

Решаем:

$$1200(x + 20) — 1200x = 5x(x + 20).$$

Раскроем скобки:

$$1200x + 24000 — 1200x = 5x^2 + 100x.$$

Упростим:

$$24000 = 5x^2 + 100x.$$

Теперь перенесем все элементы на одну сторону:

$$5x^2 + 100x — 24000 = 0.$$

Разделим уравнение на 5, чтобы упростить:

$$x^2 + 20x — 4800 = 0.$$

Теперь находим дискриминант:

$$D = 20^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600.$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{19600} = 140.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-20 — 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60.$$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, отбрасываем $x_1 = -80$, оставляя $x_2 = 60 \, (\text{м/мин})$.

Теперь, зная скорость брата Тани, можем найти время, затраченное Таней на путь:

$$\frac{1200}{60 + 20} = \frac{1200}{80} = 15 \, (\text{мин}).$$

Также находим время, затраченное её братом:

$$\frac{1200}{60} = 20 \, (\text{мин}).$$

Ответ: $15 \, \text{минут}; \, 20 \, \text{минут}.$