ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 421 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Составьте разные уравнения по условию задачи. Решите её. Премиальный фонд в 72 000 р. решено было распределить в конце года между сотрудниками отдела поровну. В течение года 6 человек ушли из отдела, поэтому каждый из сотрудников получил на 1000 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников было в отделе первоначально и сколько стало к концу года?

1) Первый способ:

Пусть $x \, \text{чел}$ — сотрудников было в отделе первоначально, тогда:

• $x — 6 \, \text{чел}$ — сотрудников осталось в конце года;
• $\frac{72000}{x} \, \text{р}$ — должен был получить каждый сотрудник;
• $\frac{72000}{x — 6} \, \text{р}$ — получил каждый сотрудник в итоге;

Составим и решим уравнение:

$$\frac{72000}{x — 6} — \frac{72000}{x} = 1000 \quad | : (1000);$$ $$\frac{72}{x-6}-\frac{72}{x}=1\mathrm{\mid }\cdot x(x-6);$$

$$\frac{72}{x — 6} — \frac{72}{x} = 1 \quad | \cdot x(x — 6);$$ $$72x-72(x-6)=x(x-6);$$

$$72x — 72(x — 6) = x(x — 6);$$ $$72x-72x+432=x^2-6x;$$

$$72x — 72x + 432 = x^2 — 6x;$$ $$432=x^2-6x;$$

$$432 = x^2 — 6x;$$ $$x^2-6x-432=0;$$

$$x^2 — 6x — 432 = 0;$$ $$D=6^2+4\cdot 432=36+1728=1764={42}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 6^2 + 4 \cdot 432 = 36 + 1728 = 1764 = 42^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{6 — 42}{2} = \frac{-36}{2} = -18 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 42}{2} = \frac{48}{2} = 24;$$

Количество сотрудников не может быть отрицательным:

$$x \neq -18, \text{ значит } x = 24 \, (\text{чел});$$

Количество сотрудников в конце года:

$$24 — 6 = 18 \, (\text{чел});$$

2) Второй способ:

Пусть $x \, \text{р}$ — должен был получить каждый сотрудник, тогда:

• $\frac{72000}{x} \, \text{чел}$ — сотрудников было в отделе первоначально;
• $\frac{72000}{x + 1000} \, \text{чел}$ — сотрудников осталось в конце года;

Составим и решим уравнение:

$$\frac{72000}{x}-\frac{72000}{x+1000}=6\mathrm{\mid }\cdot x(x+1000);$$

$$\frac{72000}{x} — \frac{72000}{x + 1000} = 6 \quad | \cdot x(x + 1000);$$ $$72000(x+1000)-72000x=6x(x+1000);$$

$$72000(x + 1000) — 72000x = 6x(x + 1000);$$ $$72000x+72\cdot {10}^6-72000x=6x^2+6000x;$$

$$72000x + 72 \cdot 10^6 — 72000x = 6x^2 + 6000x;$$ $$72\cdot {10}^6=6x^2+6000x;$$

$$72 \cdot 10^6 = 6x^2 + 6000x;$$ $$6x^2+6\cdot {10}^{3}x-72\cdot {10}^6=0\mathrm{\mid }:6;$$

$$6x^2 + 6 \cdot 10^3x — 72 \cdot 10^6 = 0 \quad | : 6;$$ $$x^2+{10}^{3}x-12\cdot {10}^6=0;$$

$$x^2 + 10^3x — 12 \cdot 10^6 = 0;$$ $$D={10}^6+4\cdot 12\cdot {10}^6={10}^6+48\cdot {10}^6=49\cdot {10}^6,\text{ тогда: }$$

$$D = 10^6 + 4 \cdot 12 \cdot 10^6 = 10^6 + 48 \cdot 10^6 = 49 \cdot 10^6, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-10^3 — 7 \cdot 10^3}{2} = -4000 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-10^3 + 7 \cdot 10^3}{2} = 3000;$$

Премия не может быть отрицательной:

$$x \neq -4000, \text{ значит } x = 3000 \, (\text{р});$$

Первоначальное количество сотрудников:

$$\frac{72000}{3000} = 24 \, (\text{чел});$$

Количество сотрудников в конце года:

$$\frac{72000}{3000 + 1000} = \frac{72000}{4000} = 18 \, (\text{чел});$$

Ответ: $24 \, \text{человека}; \, 18 \, \text{человек}.$

1) Первый способ:

Пусть $x \, \text{чел}$ — сотрудников было в отделе первоначально, тогда:

• $x — 6 \, \text{чел}$ — сотрудников осталось в конце года;
• $\frac{72000}{x} \, \text{р}$ — должен был получить каждый сотрудник в начале года, так как общая премия делится на $x$ сотрудников;
• $\frac{72000}{x — 6} \, \text{р}$ — получил каждый сотрудник в итоге, после того как количество сотрудников уменьшилось на 6.

Составим и решим уравнение для разницы полученных премий, так как разница составила $1000 \, \text{р}$:

$$\frac{72000}{x — 6} — \frac{72000}{x} = 1000 \quad | : 1000;$$

После деления на 1000, получаем:

$$\frac{72}{x — 6} — \frac{72}{x} = 1.$$

Теперь умножим обе части уравнения на $x(x — 6)$, чтобы избавиться от дробей:

$$x(x — 6) \cdot \frac{72}{x — 6} — x(x — 6) \cdot \frac{72}{x} = 1 \cdot x(x — 6),$$

что дает:

$$72x — 72(x — 6) = x(x — 6).$$

Раскроем скобки:

$$72x — 72x + 432 = x^2 — 6x.$$

Упростим уравнение:

$$432 = x^2 — 6x.$$

Теперь перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

$$x^2 — 6x — 432 = 0.$$

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764.$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{1764} = 42.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-6) — 42}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 42}{2} = \frac{-36}{2} = -18 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-(-6) + 42}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 42}{2} = \frac{48}{2} = 24.$$

Так как количество сотрудников не может быть отрицательным, то $x = -18$ — это недопустимое решение, а правильное значение $x = 24 \, (\text{чел})$.

Теперь, зная количество сотрудников изначально, можем найти количество сотрудников в конце года:

$$24 — 6 = 18 \, (\text{чел}).$$

Ответ: $24 \, \text{человека}; \, 18 \, \text{человек}.$

2) Второй способ:

Пусть $x \, \text{р}$ — должен был получить каждый сотрудник в начале года, тогда:

• $\frac{72000}{x} \, \text{чел}$ — сотрудников было в отделе первоначально, так как общая премия делится на $x$ рублей;
• $\frac{72000}{x + 1000} \, \text{чел}$ — сотрудников осталось в конце года, так как премия, получаемая каждым сотрудником, увеличилась на $1000 \, \text{р}$.

Составим и решим уравнение для разницы количества сотрудников до и после:

$$\frac{72000}{x} — \frac{72000}{x + 1000} = 6.$$

Умножим обе части уравнения на $x(x + 1000)$, чтобы избавиться от дробей:

$$x(x + 1000) \cdot \frac{72000}{x} — x(x + 1000) \cdot \frac{72000}{x + 1000} = 6 \cdot x(x + 1000).$$

Решаем:

$$72000(x + 1000) — 72000x = 6x(x + 1000).$$

Раскроем скобки:

$$72000x + 72 \cdot 10^6 — 72000x = 6x^2 + 6000x.$$

Теперь упростим:

$$72 \cdot 10^6 = 6x^2 + 6000x.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$6x^2 + 6000x — 72 \cdot 10^6 = 0.$$

Теперь разделим на 6, чтобы упростить уравнение:

$$x^2 + 1000x — 12 \cdot 10^6 = 0.$$

Теперь находим дискриминант:

$$D = 1000^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12 \cdot 10^6) = 10^6 + 48 \cdot 10^6 = 49 \cdot 10^6.$$

Извлекаем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{49 \cdot 10^6} = 7 \cdot 10^3 = 7000.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1000 — 7000}{2 \cdot 1} = \frac{-8000}{2} = -4000 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1000 + 7000}{2 \cdot 1} = \frac{6000}{2} = 3000.$$

Премия не может быть отрицательной, поэтому $x = -4000$ — недопустимо. Таким образом, правильный ответ: $x = 3000 \, (\text{р})$.

Теперь, зная размер премии, находим количество сотрудников:

$$\frac{72000}{3000} = 24 \, (\text{чел}).$$

Теперь вычислим количество сотрудников в конце года:

$$\frac{72000}{3000 + 1000} = \frac{72000}{4000} = 18 \, (\text{чел}).$$

Ответ: $24 \, \text{человека}; \, 18 \, \text{человек}.$