ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 420 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Катер спустился по течению реки, пройдя $28 \, \text{км}$, и тотчас вернулся назад, затратив на весь путь $7 \, \text{ч}$. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна $3 \, \text{км/ч}$? Что ещё можно узнать, используя полученные данные?

б) Расстояние между двумя причалами по реке равно $12 \, \text{км}$. Лодка проходит этот путь в два конца за $2 \, \text{ч}$. Скорость течения реки $2.5 \, \text{км/ч}$. Определите, какое время занимает у лодки путь по течению реки.

а) Найдем также время, затраченное на путь по и против течения:

Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость катера в стоячей воде, тогда:

$x + 3 \, \text{км/ч}$ — скорость катера по течению;

$x — 3 \, \text{км/ч}$ — скорость катера против течения;

$\frac{28}{x + 3} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь по течению;

$\frac{28}{x — 3} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь против течения;

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{28}{x+3}+\frac{28}{x-3}=7\mathrm{\mid }\cdot (x+3)(x-3);$$

$$\frac{28}{x + 3} + \frac{28}{x — 3} = 7 \quad | \cdot (x + 3)(x — 3);$$ $$28(x-3)+28(x+3)=7(x+3)(x-3);$$

$$28(x — 3) + 28(x + 3) = 7(x + 3)(x — 3);$$ $$(x-3+x+3)\cdot 28=7(x^2-9);$$

$$(x — 3 + x + 3) \cdot 28 = 7(x^2 — 9);$$ $$2x\cdot 28=7x^2-63;$$

$$2x \cdot 28 = 7x^2 — 63;$$ $$56x-7x^2+63=0\mathrm{\mid }:(-7);$$

$$56x — 7x^2 + 63 = 0 \quad | : (-7);$$ $$x^2-8x-9=0;$$

$$x^2 — 8x — 9 = 0;$$ $$D=8^2+4\cdot 9=64+36=100,\text{ тогда: }$$

$$D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9;$$

2) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -1, \text{ значит } x = 9 \, (\text{км/ч});$$

3) Время, затраченное на путь по течению:

$$\frac{28}{9 + 3} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3} \, (\text{ч}) = 2 \, \text{ч } 20 \, \text{мин};$$

4) Время, затраченное на путь против течения:

$$\frac{28}{9 — 3} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3} \, (\text{ч}) = 4 \, \text{ч } 40 \, \text{мин};$$

Ответ: $9 \, \text{км/ч}; \, 2 \, \text{ч } 20 \, \text{мин}; \, 4 \, \text{ч } 40 \, \text{мин}.$

б) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость лодки в стоячей воде, тогда:

$x + 2.5 \, \text{км/ч}$ — скорость лодки по течению;

$x — 2.5 \, \text{км/ч}$ — скорость лодки против течения;

$\frac{12}{x + 2.5} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь по течению;

$\frac{12}{x — 2.5} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь против течения;

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{12}{x+2.5}+\frac{12}{x-2.5}=2\mathrm{\mid }\cdot (x+2.5)(x-2.5);$$

$$\frac{12}{x + 2.5} + \frac{12}{x — 2.5} = 2 \quad | \cdot (x + 2.5)(x — 2.5);$$ $$12(x-2.5)+12(x+2.5)=2(x+2.5)(x-2.5);$$

$$12(x — 2.5) + 12(x + 2.5) = 2(x + 2.5)(x — 2.5);$$ $$(x-2.5+x+2.5)\cdot 12=2(x^2-{2.5}^2);$$

$$(x — 2.5 + x + 2.5) \cdot 12 = 2(x^2 — 2.5^2);$$ $$2x\cdot 12=2x^2-2\cdot 6.25;$$

$$2x \cdot 12 = 2x^2 — 2 \cdot 6.25;$$ $$24x=2x^2-12.5;$$

$$24x = 2x^2 — 12.5;$$ $$2x^2-24x-12.5=0;$$

$$2x^2 — 24x — 12.5 = 0;$$ $$D={24}^2+4\cdot 2\cdot 12.5=576+100=676={26}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 24^2 + 4 \cdot 2 \cdot 12.5 = 576 + 100 = 676 = 26^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{24 — 26}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{24 + 26}{2 \cdot 2} = \frac{50}{4} = 12.5;$$

2) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -0.5, \text{ значит } x = 12.5 \, (\text{км/ч});$$

3) Время, затраченное на путь по течению:

$$\frac{12}{12.5 + 2.5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \, (\text{ч}) = 48 \, (\text{мин});$$

Ответ: $48 \, \text{минут}.$

а) Найдем также время, затраченное на путь по и против течения:

Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость катера в стоячей воде, тогда:

$x + 3 \, \text{км/ч}$ — скорость катера по течению, так как скорость течения реки добавляется к скорости катера;

$x — 3 \, \text{км/ч}$ — скорость катера против течения, так как скорость течения реки уменьшает скорость катера;

$\frac{28}{x + 3} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь по течению, так как для пути $28 \, \text{км}$ при скорости $x + 3 \, \text{км/ч}$ время вычисляется как $\frac{28}{x + 3}$;

$\frac{28}{x — 3} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь против течения, так как для пути $28 \, \text{км}$ при скорости $x — 3 \, \text{км/ч}$ время вычисляется как $\frac{28}{x — 3}$.

Общее время на путь в два конца равно $7 \, \text{ч}$, то есть:

$$\frac{28}{x + 3} + \frac{28}{x — 3} = 7.$$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $(x + 3)(x — 3)$, что является произведением знаменателей:

$$(x + 3)(x — 3) \cdot \frac{28}{x + 3} + (x + 3)(x — 3) \cdot \frac{28}{x — 3} = 7(x + 3)(x — 3).$$

Упростим это выражение:

$$28(x — 3) + 28(x + 3) = 7(x^2 — 9).$$

Далее раскроем скобки:

$$28x — 84 + 28x + 84 = 7(x^2 — 9),$$ $$56x = 7x^2 — 63.$$

Теперь перенесем все элементы на одну сторону:

$$56x — 7x^2 + 63 = 0.$$

Умножим все на $-1$, чтобы избавиться от отрицательных знаков:

$$-56x + 7x^2 — 63 = 0,$$

или

$$7x^2 — 56x + 63 = 0.$$

Теперь разделим уравнение на 7, чтобы упростить его:

$$x^2 — 8x — 9 = 0.$$

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100.$$

Теперь, зная дискриминант, находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-8)-\sqrt{100}}{2\cdot 1}=\frac{8-10}{2}=-1,$$

$$x_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 — 10}{2} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = 9.$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $x = -1$ — не имеет смысла, а правильный ответ $x = 9 \, \text{км/ч}$.

Теперь, зная скорость катера, можем найти время на пути по течению и против течения.

Время, затраченное на путь по течению:

$$\frac{28}{9 + 3} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3} \, (\text{ч}) = 2 \, \text{ч } 20 \, \text{мин}.$$

Время, затраченное на путь против течения:

$$\frac{28}{9 — 3} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3} \, (\text{ч}) = 4 \, \text{ч } 40 \, \text{мин}.$$

Ответ: $9 \, \text{км/ч}; \, 2 \, \text{ч } 20 \, \text{мин}; \, 4 \, \text{ч } 40 \, \text{мин}.$

б) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость лодки в стоячей воде, тогда:

$x + 2.5 \, \text{км/ч}$ — скорость лодки по течению, так как скорость течения добавляется к скорости лодки;

$x — 2.5 \, \text{км/ч}$ — скорость лодки против течения, так как скорость течения уменьшается от скорости лодки;

$\frac{12}{x + 2.5} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь по течению, так как для пути $12 \, \text{км}$ при скорости $x + 2.5 \, \text{км/ч}$ время вычисляется как $\frac{12}{x + 2.5}$;

$\frac{12}{x — 2.5} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь против течения, так как для пути $12 \, \text{км}$ при скорости $x — 2.5 \, \text{км/ч}$ время вычисляется как $\frac{12}{x — 2.5}$.

Общее время на путь в два конца равно $2 \, \text{ч}$, то есть:

$$\frac{12}{x + 2.5} + \frac{12}{x — 2.5} = 2.$$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $(x + 2.5)(x — 2.5)$, что является произведением знаменателей:

$$(x + 2.5)(x — 2.5) \cdot \frac{12}{x + 2.5} + (x + 2.5)(x — 2.5) \cdot \frac{12}{x — 2.5} = 2(x + 2.5)(x — 2.5).$$

Упростим это выражение:

$$12(x — 2.5) + 12(x + 2.5) = 2(x^2 — 2.5^2).$$

Раскроем скобки:

$$12x — 30 + 12x + 30 = 2(x^2 — 6.25),$$ $$24x = 2x^2 — 12.5.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$2x^2 — 24x — 12.5 = 0.$$

Теперь находим дискриминант:

$$D = 24^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-12.5) = 576 + 100 = 676 = 26^2.$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-24 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 2} = \frac{-24 \pm 26}{4}.$$

Получаем два возможных значения для $x$:

$$x_1 = \frac{-24 — 26}{4} = \frac{-50}{4} = -12.5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-24 + 26}{4} = \frac{2}{4} = 0.5.$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x = -12.5$ — не имеет смысла, а правильный ответ $x = 12.5 \, \text{км/ч}$.

Теперь, зная скорость лодки, можем найти время на пути по течению:

Время, затраченное на путь по течению:

$$\frac{12}{12.5 + 2.5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8 \, (\text{ч}) = 48 \, (\text{мин}).$$

Ответ: $48 \, \text{минут}.$