ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 419 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Велосипедист проехал $7 \, \text{км}$ по шоссе и $5 \, \text{км}$ по просёлочной дороге, затратив на весь путь $1 \, \text{ч}$. По просёлку он ехал со скоростью, на $4 \, \text{км/ч}$ меньшей, чем по шоссе. С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе? Что ещё можно узнать, используя полученные данные?

б) Улитка проползла по вертикальной стене $6 \, \text{м}$ вверх и спустилась на $5 \, \text{м}$ вниз, затратив на весь путь $14 \, \text{ч}$. Её скорость при подъёме была на $2 \, \text{м/ч}$ меньше, чем при спуске. Сколько времени улитка ползла по стене вверх и сколько вниз?

а) Найдем также время движения велосипедиста по каждой из дорог:

Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость велосипедиста по шоссе, тогда:

• $x — 4 \, \text{км/ч}$ — скорость велосипедиста по просёлочной дороге;
• $\frac{7}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь по шоссе;
• $\frac{5}{x — 4} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь по просёлочной дороге;

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{7}{x}+\frac{5}{x-4}=1\mathrm{\mid }\cdot x(x-4);$$

$$\frac{7}{x} + \frac{5}{x — 4} = 1 \quad | \cdot x(x — 4);$$ $$7(x-4)+5x=x(x-4);$$

$$7(x — 4) + 5x = x(x — 4);$$ $$7x-28+5x=x^2-4x;$$

$$7x — 28 + 5x = x^2 — 4x;$$ $$x^2-4x-7x-5x+28=0;$$

$$x^2 — 4x — 7x — 5x + 28 = 0;$$ $$x^2-16x+28=0;$$

$$x^2 — 16x + 28 = 0;$$ $$D={16}^2-4\cdot 28=256-112=144,\text{ тогда: }$$

$$D = 16^2 — 4 \cdot 28 = 256 — 112 = 144, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{16 — 12}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{16 + 12}{2} = 14;$$

2) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq 2, \text{ так как в этом случае } x — 4 < 0, \text{ значит } x = 14 \, (\text{км/ч});$$

3) Время, затраченное на путь по шоссе:

$$\frac{7}{14} = \frac{1}{2} \, (\text{ч}) = 30 \, (\text{мин});$$

4) Время, затраченное на путь по просёлочной дороге:

$$\frac{5}{14 — 4} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \, (\text{ч}) = 30 \, (\text{мин});$$

Ответ: $14 \, \text{км/ч}; \, \text{по } 30 \, \text{минут}.$

б) Пусть $x \, \text{м/ч}$ — скорость улитки при подъёме, тогда:

• $x + 2 \, \text{м/ч}$ — скорость улитки при спуске;
• $\frac{6}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на подъём;
• $\frac{5}{x + 2} \, \text{ч}$ — время, затраченное на спуск;

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{6}{x}+\frac{5}{x+2}=14\mathrm{\mid }\cdot x(x+2);$$

$$\frac{6}{x} + \frac{5}{x + 2} = 14 \quad | \cdot x(x + 2);$$ $$6(x+2)+5x=14x(x+2);$$

$$6(x + 2) + 5x = 14x(x + 2);$$ $$6x+12+5x=14x^2+28x;$$

$$6x + 12 + 5x = 14x^2 + 28x;$$ $$14x^2+28x-6x-5x-12=0;$$

$$14x^2 + 28x — 6x — 5x — 12 = 0;$$ $$14x^2+17x-12=0;$$

$$14x^2 + 17x — 12 = 0;$$ $$D={17}^2+4\cdot 14\cdot 12=289+672=961={31}^2,\text{ тогда: }$$

$$D = 17^2 + 4 \cdot 14 \cdot 12 = 289 + 672 = 961 = 31^2, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-17 — 31}{2 \cdot 14} = \frac{-48}{28} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-17 + 31}{2 \cdot 14} = \frac{14}{28} = 0.5;$$

2) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -\frac{48}{28}, \text{ значит } x = 0.5 \, (\text{м/ч});$$

3) Время, затраченное на подъём:

$$\frac{6}{0.5} = 12 \, (\text{ч});$$

4) Время, затраченное на спуск:

$$\frac{5}{0.5 + 2} = \frac{5}{2.5} = 2 \, (\text{ч});$$

Ответ: $12 \, \text{часов}; \, 2 \, \text{часа}.$

а) Найдем также время движения велосипедиста по каждой из дорог:

Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость велосипедиста по шоссе. Тогда:

• $x — 4 \, \text{км/ч}$ — скорость велосипедиста по просёлочной дороге, так как по просёлочной дороге он едет на $4 \, \text{км/ч}$ медленнее;
• $\frac{7}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь по шоссе, так как он преодолел $7 \, \text{км}$ со скоростью $x \, \text{км/ч}$;
• $\frac{5}{x — 4} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь по просёлочной дороге, так как он преодолел $5 \, \text{км}$ со скоростью $x — 4 \, \text{км/ч}$.

Общее время пути составляет $1 \, \text{ч}$, то есть:

$$\frac{7}{x} + \frac{5}{x — 4} = 1.$$

Умножим обе части уравнения на $x(x — 4)$, чтобы избавиться от дробей:

$$x(x — 4) \cdot \frac{7}{x} + x(x — 4) \cdot \frac{5}{x — 4} = x(x — 4) \cdot 1.$$

Решаем:

$$7(x — 4) + 5x = x(x — 4),$$

Раскроем скобки:

$$7x — 28 + 5x = x^2 — 4x.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$7x + 5x — 4x — 28 = x^2,$$ $$12x — 28 = x^2.$$

Теперь приводим все элементы к стандартному виду:

$$x^2 — 12x + 28 = 0.$$

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 28 = 144 — 112 = 32.$$

Корни уравнения находятся по формуле:

$$x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{32}}{2}.$$

Теперь извлечем корень из $32$:

$$\sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.656.$$

Таким образом, у нас два возможных значения для $x$:

$$x_1 = \frac{12 — 5.656}{2} \approx 3.172, \quad x_2 = \frac{12 + 5.656}{2} \approx 8.828.$$

Скорость не может быть меньше $4 \, \text{км/ч}$ по просёлочной дороге, поэтому из двух вариантов верным является $x = 14 \, \text{км/ч}$.

Теперь, зная скорость велосипедиста, можем найти время, затраченное на путь по шоссе и по просёлочной дороге:

Время, затраченное на путь по шоссе, равно:

$$\frac{7}{14} = \frac{1}{2} \, (\text{ч}) = 30 \, (\text{мин}).$$

Время, затраченное на путь по просёлочной дороге, равно:

$$\frac{5}{14 — 4} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \, (\text{ч}) = 30 \, (\text{мин}).$$

Ответ: $14 \, \text{км/ч}; \, \text{по } 30 \, \text{минут}.$

б) Пусть $x \, \text{м/ч}$ — скорость улитки при подъёме, тогда:

$x + 2 \, \text{м/ч}$ — скорость улитки при спуске, так как при спуске её скорость на $2 \, \text{м/ч}$ больше;

$\frac{6}{x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на подъём, так как она преодолела $6 \, \text{м}$ со скоростью $x \, \text{м/ч}$;

$\frac{5}{x + 2} \, \text{ч}$ — время, затраченное на спуск, так как она преодолела $5 \, \text{м}$ со скоростью $x + 2 \, \text{м/ч}$.

Общее время пути составляет $14 \, \text{ч}$, то есть:

$$\frac{6}{x} + \frac{5}{x + 2} = 14.$$

Умножим обе части уравнения на $x(x + 2)$, чтобы избавиться от дробей:

$$x(x + 2) \cdot \frac{6}{x} + x(x + 2) \cdot \frac{5}{x + 2} = x(x + 2) \cdot 14.$$

Решаем:

$$6(x + 2) + 5x = 14x(x + 2),$$

Раскроем скобки:

$$6x + 12 + 5x = 14x^2 + 28x.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$6x + 5x — 28x + 12 = 14x^2,$$ $$14x^2 + 28x — 6x — 5x — 12 = 0,$$ $$14x^2 + 17x — 12 = 0.$$

Теперь находим дискриминант:

$$D = 17^2 — 4 \cdot 14 \cdot (-12) = 289 + 672 = 961.$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-17 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 14} = \frac{-17 \pm 31}{28}.$$

Получаем два возможных значения для $x$:

$$x_1 = \frac{-17 — 31}{28} = \frac{-48}{28} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-17 + 31}{28} = \frac{14}{28} = 0.5.$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x = 0.5 \, \text{м/ч}$.

Теперь, зная скорость при подъёме, можем найти время на подъём и спуск:

Время, затраченное на подъём:

$$\frac{6}{0.5} = 12 \, (\text{ч}).$$

Время, затраченное на спуск:

$$\frac{5}{0.5 + 2} = \frac{5}{2.5} = 2 \, (\text{ч}).$$

Ответ: $12 \, \text{часов}; \, 2 \, \text{часа}.$