ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 417 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Лодка проплыла $18 \, \text{км}$ по течению реки и за такое же время $10 \, \text{км}$ против течения реки. Скорость течения реки $2 \, \text{км/ч}$. Найдите собственную скорость лодки и время движения лодки вниз по реке.

б) Катер проплыл $33 \, \text{км}$ вниз по течению реки, а затем такое же время плыл против течения, пройдя при этом $27 \, \text{км}$. В стоячей воде катер плывёт со скоростью $20 \, \text{км/ч}$. Сколько времени длилось путешествие?

а) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — собственная скорость лодки, тогда:

$x + 2 \, \text{км/ч}$ — скорость лодки по течению;

$x — 2 \, \text{км/ч}$ — скорость лодки против течения;

$\frac{18}{x + 2} \, \text{ч}$ — время, затраченное на движение по течению;

$\frac{10}{x — 2} \, \text{ч}$ — время, затраченное на движение против течения;

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{18}{x+2}=\frac{10}{x-2}\mathrm{\mid }\cdot (x+2)(x-2);$$

$$\frac{18}{x + 2} = \frac{10}{x — 2} \quad | \cdot (x + 2)(x — 2);$$ $$18(x-2)=10(x+2);$$

$$18(x — 2) = 10(x + 2);$$ $$18x-36=10x+20;$$

$$18x — 36 = 10x + 20;$$ $$18x-10x=20+36;$$

$$18x — 10x = 20 + 36;$$ $$8x = 56, \text{ отсюда } x = \frac{56}{8} = 7 \, (\text{км/ч});$$

2) Время движения лодки вниз по реке:

$$\frac{18}{7 + 2} = \frac{18}{9} = 2 \, (\text{ч});$$

Ответ: $7 \, \text{км/ч}; \, 2 \, \text{часа}$.

б) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость течения реки, тогда:

$20 + x \, \text{км/ч}$ — скорость катера по течению;

$20 — x \, \text{км/ч}$ — скорость катера против течения;

$\frac{33}{20 + x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь по течению;

$\frac{27}{20 — x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь против течения;

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{33}{20+x}=\frac{27}{20-x}\mathrm{\mid }\cdot (20+x)(20-x);$$

$$\frac{33}{20 + x} = \frac{27}{20 — x} \quad | \cdot (20 + x)(20 — x);$$ $$33(20-x)=27(20+x);$$

$$33(20 — x) = 27(20 + x);$$ $$660-33x=540+27x;$$

$$660 — 33x = 540 + 27x;$$ $$-33x-27x=540-660;$$

$$-33x — 27x = 540 — 660;$$ $$-60x = -120, \text{ отсюда } x = \frac{120}{60} = 2 \, (\text{км/ч});$$

2) Время затраченное на весь путь:

$$\frac{33}{20 + 2} + \frac{27}{20 — 2} = \frac{33}{22} + \frac{27}{18} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, (\text{ч});$$

Ответ: $3 \, \text{часа}$.

а) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — собственная скорость лодки, тогда:

$x + 2 \, \text{км/ч}$ — скорость лодки по течению;

$x — 2 \, \text{км/ч}$ — скорость лодки против течения;

$\frac{18}{x + 2} \, \text{ч}$ — время, затраченное на движение по течению;

$\frac{10}{x — 2} \, \text{ч}$ — время, затраченное на движение против течения;

Составим и решим уравнение:

$$\frac{18}{x + 2} = \frac{10}{x — 2} \quad | \cdot (x + 2)(x — 2);$$

Рассмотрим левую и правую части уравнения и умножим обе части на множитель $(x + 2)(x — 2)$:

$$18(x — 2) = 10(x + 2);$$

Раскрываем скобки:

$$18x — 36 = 10x + 20;$$

Переносим все слагаемые, содержащие $x$, в одну часть уравнения:

$$18x — 10x = 20 + 36;$$

Упрощаем выражение:

$$8x = 56;$$

Теперь находим $x$, разделив обе части уравнения на 8:

$$x = \frac{56}{8} = 7 \, (\text{км/ч});$$

Теперь найдём время, затраченное на движение лодки вниз по реке:

$$\frac{18}{7 + 2} = \frac{18}{9} = 2 \, (\text{ч});$$

Ответ: $7 \, \text{км/ч}; \, 2 \, \text{часа}$.

б) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость течения реки, тогда:

$20 + x \, \text{км/ч}$ — скорость катера по течению;

$20 — x \, \text{км/ч}$ — скорость катера против течения;

$\frac{33}{20 + x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь по течению;

$\frac{27}{20 — x} \, \text{ч}$ — время, затраченное на путь против течения;

Составим и решим уравнение:

$$\frac{33}{20 + x} = \frac{27}{20 — x} \quad | \cdot (20 + x)(20 — x);$$

Рассматриваем обе стороны уравнения и умножаем обе части на множитель $(20 + x)(20 — x)$, что является разностью квадратов:

$$33(20 — x) = 27(20 + x);$$

Раскрываем скобки:

$$660 — 33x = 540 + 27x;$$

Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону, а все числовые слагаемые — на другую:

$$-33x — 27x = 540 — 660;$$

Упрощаем:

$$-60x = -120;$$

Теперь находим $x$, разделив обе части уравнения на $-60$:

$$x = \frac{120}{60} = 2 \, (\text{км/ч});$$

Теперь найдём время, затраченное на весь путь:

$$\frac{33}{20 + 2} + \frac{27}{20 — 2} = \frac{33}{22} + \frac{27}{18} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, (\text{ч});$$

Ответ: $3 \, \text{часа}$.