ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 416 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Ответьте на вопрос задачи, составив и решив уравнение (416—420).

а) Иван проехал на велосипеде $24$ км. На автомобиле за это же время при скорости, на $30$ км/ч большей, он проехал бы $84$ км. С какой скоростью ехал Иван на велосипеде? За какое время он проехал это расстояние?

б) За одно и то же время пешеход прошёл $16$ км, а велосипедист проехал $40$ км. Скорость велосипедиста была больше скорости пешехода на $6$ км/ч. Поставьте возможные вопросы к задаче и ответьте на них.

а) Пусть $x$ км/ч — скорость движения Ивана на велосипеде, тогда:
$x + 30$ км/ч — скорость его движения на автомобиле;
$\frac{24}{x}$ ч — время, затраченное на путь на велосипеде;
$\frac{84}{x + 30}$ ч — время, затраченное на путь на автомобиле;

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{24}{x}=\frac{84}{x+30}\mathrm{\mid }\cdot x(x+30);$$

$$\frac{24}{x} = \frac{84}{x + 30} \quad | \cdot x(x + 30);$$ $$24(x+30)=84x;$$

$$24(x + 30) = 84x;$$ $$24x+720-84x=0;$$

$$24x + 720 — 84x = 0;$$ $$-60x = -720, \text{отсюда } x = \frac{720}{60} = 12 \, (\text{км/ч});$$

2) Время, затраченное на путь:

$$\frac{24}{12} = 2 \, (\text{ч});$$

Ответ: $12$ км/ч; $2$ часа.

б) Найдем скорости велосипедиста и пешехода, а также время, за которое они преодолели расстояния в $16$ км и $40$ км соответственно.
Пусть $x$ км/ч — скорость пешехода, тогда:
$x + 6$ км/ч — скорость велосипедиста;
$\frac{16}{x}$ ч — время, затраченное на путь пешеходом;
$\frac{40}{x + 6}$ ч — время, затраченное на путь велосипедистом;

1) Составим и решим уравнение:

$$\frac{16}{x}=\frac{40}{x+6}\mathrm{\mid }\cdot x(x+6);$$

$$\frac{16}{x} = \frac{40}{x + 6} \quad | \cdot x(x + 6);$$ $$16(x+6)=40x;$$

$$16(x + 6) = 40x;$$ $$16x+96-40x=0;$$

$$16x + 96 — 40x = 0;$$ $$-24x = -96, \text{отсюда } x = \frac{96}{24} = 4 \, (\text{км/ч});$$

2) Скорость велосипедиста:

$$4 + 6 = 10 \, (\text{км/ч});$$

3) Время, затраченное на путь:

$$\frac{16}{4} = 4 \, (\text{ч});$$

Ответ: $4$ км/ч; $10$ км/ч; $4$ часа.

а) Пусть $x$ км/ч — скорость движения Ивана на велосипеде. Тогда скорость его движения на автомобиле будет на 30 км/ч больше, то есть $x + 30$ км/ч.
Время, затраченное Иваном на путь на велосипеде, равно $\frac{24}{x}$ часов.
Время, которое Иван потратил бы на путь на автомобиле, при скорости $x + 30$ км/ч, равно $\frac{84}{x + 30}$ часов.
Мы знаем, что эти два времени одинаковы, так как они прошли за одно и то же время. Составим уравнение:

$$\frac{24}{x} = \frac{84}{x + 30}.$$

Умножим обе части на $x(x + 30)$:

$$24(x + 30) = 84x.$$

Раскроем скобки:

$$24x + 720 = 84x.$$

Переносим все слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону:

$$24x — 84x = -720.$$

Собираем подобные:

$$-60x = -720.$$

Делим обе части на -60:

$$x = \frac{720}{60} = 12 \, (\text{км/ч}).$$

Теперь, чтобы найти время, которое Иван потратил на путь на велосипеде, подставляем $x = 12$ в формулу для времени:

$$t = \frac{24}{12} = 2 \, (\text{ч}).$$

Ответ: скорость Ивана на велосипеде $12$ км/ч, время, затраченное на путь $2$ часа.

б) Пусть $x$ км/ч — скорость пешехода. Тогда скорость велосипедиста будет на 6 км/ч больше, то есть $x + 6$ км/ч.
Время, затраченное пешеходом на путь, равно $\frac{16}{x}$ часов.
Время, затраченное велосипедистом на путь, равно $\frac{40}{x + 6}$ часов.
Так как оба движения происходят за одинаковое время, составляем уравнение:

$$\frac{16}{x} = \frac{40}{x + 6}.$$

Умножим обе части на $x(x + 6)$:

$$16(x + 6) = 40x.$$

Раскроем скобки:

$$16x + 96 = 40x.$$

Переносим все слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону:

$$16x — 40x = -96.$$

Собираем подобные:

$$-24x = -96.$$

Делим обе части на -24:

$$x = \frac{96}{24} = 4 \, (\text{км/ч}).$$

Теперь находим скорость велосипедиста, которая на 6 км/ч больше:

$$v_{\text{велосипед}} = 4 + 6 = 10 \, (\text{км/ч}).$$

Чтобы найти время, затраченное пешеходом, используем $x = 4$:

$$t_{\text{пешеход}} = \frac{16}{4} = 4 \, (\text{ч}).$$

Ответ: скорость пешехода $4$ км/ч, скорость велосипедиста $10$ км/ч, время, затраченное пешеходом $4$ часа.