ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 415 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение, используя подходящую подстановку (414—415):

а) $x^2 — 3 + \frac{1}{x^2 — 3} = 2$;

б) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{5}{2}$;

в) $\frac{x + 1}{x^2} — \frac{3x^2}{x + 1} = \frac{1}{2}$.

$x^2 — 3 + \frac{1}{x^2 — 3} = 2$;
Пусть $y = x^2 — 3$, тогда:

$$y+\frac{1}{y}=2\mathrm{\mid }\cdot y;$$

$$y + \frac{1}{y} = 2 \quad | \cdot y;$$ $$y^2+1=2y;$$

$$y^2 + 1 = 2y;$$ $$y^2-2y+1=0;$$

$$y^2 — 2y + 1 = 0;$$ $$(y-1{)}^2=0;$$

$$(y — 1)^2 = 0;$$ $$y — 1 = 0, \text{отсюда } y = 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$y \neq 0;$$

Значения аргумента $x$:

$$x^2 — 3 = 1;$$ $$x^2 = 4, \text{отсюда } x = \pm 2;$$

Ответ: $\pm 2$.

б) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{5}{2}$;
Пусть $y = \frac{x^2 + 1}{x}$, тогда:

$$y+\frac{1}{y}=\frac{5}{2}\mathrm{\mid }\cdot 2y;$$

$$y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2} \quad | \cdot 2y;$$ $$2y^2+2=5y;$$

$$2y^2 + 2 = 5y;$$ $$2y^2-5y+2=0;$$

$$2y^2 — 5y + 2 = 0;$$ $$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,\text{тогда:}$$

$$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$y \neq 0;$$

Значения аргумента $x$:

1) $\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{2} \quad | \cdot 2x;$

$$2(x^2+1)=x;$$

$$2(x^2 + 1) = x;$$ $$2x^2-x+2=0;$$

$$2x^2 — x + 2 = 0;$$ $$D=1^2-4\cdot 2\cdot 2=1-16=-15;$$

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 — 16 = -15;$$ $$D < 0, \text{значит корней нет};$$

2) $\frac{x^2 + 1}{x} = 2 \quad | \cdot x;$

$$x^2+1=2x;$$

$$x^2 + 1 = 2x;$$ $$x^2-2x+1=0;$$

$$x^2 — 2x + 1 = 0;$$ $$(x-1{)}^2=0;$$

$$(x — 1)^2 = 0;$$ $$x — 1 = 0, \text{отсюда } x = 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq 0;$$ $$x^2 + 1 \neq 0 \quad — \text{корней нет};$$

Ответ: $1$.

в) $\frac{x + 1}{x^2} — \frac{3x^2}{x + 1} = \frac{1}{2}$;

Пусть $y = \frac{x + 1}{x^2}$, тогда:

$$y-\frac{3}{y}=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\cdot 2y;$$

$$y — \frac{3}{y} = \frac{1}{2} \quad | \cdot 2y;$$ $$2y^2-3\cdot 2=y;$$

$$2y^2 — 3 \cdot 2 = y;$$ $$2y^2-y-6=0;$$

$$2y^2 — y — 6 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 2\cdot 6=1+48=49,\text{тогда:}$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$y \neq 0;$$

Значения аргумента $x$:

1) $\frac{x + 1}{x^2} = -\frac{3}{2} \quad | \cdot 2x^2;$

$$2(x+1)=-3x^2;$$

$$2(x + 1) = -3x^2;$$ $$3x^2+2x+1=0;$$

$$3x^2 + 2x + 1 = 0;$$ $$D=2^2-4\cdot 3=4-12=-8;$$

$$D = 2^2 — 4 \cdot 3 = 4 — 12 = -8;$$ $$D < 0, \text{значит корней нет};$$

2) $\frac{x + 1}{x^2} = 2 \quad | \cdot x^2;$

$$x+1=2x^2;$$

$$x + 1 = 2x^2;$$ $$2x^2-x-1=0;$$

$$2x^2 — x — 1 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{тогда:}$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -0.5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2\mathrm{\ne }0,\text{отсюда }x\mathrm{\ne }0;$$

$$x^2 \neq 0, \text{отсюда } x \neq 0;$$ $$x + 1 \neq 0, \text{отсюда } x \neq -1;$$

Ответ: $-0.5, 1$.

а) $x^2 — 3 + \frac{1}{x^2 — 3} = 2$;

Пусть $y = x^2 — 3$, тогда:

$$y + \frac{1}{y} = 2 \quad | \cdot y;$$

Умножим обе стороны на $y$:

$$y^2 + 1 = 2y;$$

Переносим все на одну сторону:

$$y^2 — 2y + 1 = 0;$$

Это квадратное уравнение можно записать как:

$$(y — 1)^2 = 0;$$

Решаем его:

$$y — 1 = 0, \text{отсюда } y = 1;$$

Теперь подставляем $y = x^2 — 3$:

$$x^2 — 3 = 1;$$

Решаем это уравнение:

$$x^2 = 4, \text{отсюда } x = \pm 2;$$

Значение $x$ при котором выражение имеет смысл:

$$y \neq 0, \quad x^2 — 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{3}.$$

Ответ: $\pm 2$.

б) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{5}{2}$;

Пусть $y = \frac{x^2 + 1}{x}$, тогда:

$$y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2} \quad | \cdot 2y;$$

Умножаем обе стороны на $2y$:

$$2y^2 + 2 = 5y;$$

Переносим все на одну сторону:

$$2y^2 — 5y + 2 = 0;$$

Находим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9;$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;$$

Проверим, при каких значениях $y$ выражение имеет смысл:

$$y \neq 0, \quad \frac{x^2 + 1}{x} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0;$$

Значения аргумента $x$:

$\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{2}$, умножаем на $2x$:

$$2(x^2 + 1) = x;$$

Решаем:

$$2x^2 — x + 2 = 0;$$

Находим дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 — 16 = -15;$$

Так как дискриминант отрицателен, корней нет.

$\frac{x^2 + 1}{x} = 2$, умножаем на $x$:

$$x^2 + 1 = 2x;$$

Решаем:

$$x^2 — 2x + 1 = 0;$$

Это квадратное уравнение можно записать как:

$$(x — 1)^2 = 0;$$

Решаем:

$$x = 1;$$

Ответ: $1$.

в) $\frac{x + 1}{x^2} — \frac{3x^2}{x + 1} = \frac{1}{2}$;

Пусть $y = \frac{x + 1}{x^2}$, тогда:

$$y — \frac{3}{y} = \frac{1}{2} \quad | \cdot 2y;$$

Умножаем обе стороны на $2y$:

$$2y^2 — 6 = y;$$

Переносим все на одну сторону:

$$2y^2 — y — 6 = 0;$$

Находим дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49;$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = 2;$$

Проверим, при каких значениях $y$ выражение имеет смысл:

$$y \neq 0, \quad \frac{x + 1}{x^2} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0;$$

Значения аргумента $x$:

$\frac{x + 1}{x^2} = -\frac{3}{2}$, умножаем на $2x^2$:

$$2(x + 1) = -3x^2;$$

Решаем:

$$3x^2 + 2x + 1 = 0;$$

Находим дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 3 = 4 — 12 = -8;$$

Так как дискриминант отрицателен, корней нет.

$\frac{x + 1}{x^2} = 2$, умножаем на $x^2$:

$$x + 1 = 2x^2;$$

Решаем:

$$2x^2 — x — 1 = 0;$$

Находим дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9;$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -0.5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;$$

Ответ: $-0.5, 1$.