ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 414 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение, используя подходящую подстановку (414—415):

а) $\frac{15}{x^2 + x + 1} = 2(x^2 + x) + 1$;

б) $\frac{1}{x^2 — 3x — 1} + \frac{1}{x^2 — 3x — 2} = \frac{5}{x^2 — 3x + 2}$;

в) $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^2 — 5\left(2 + \frac{1}{x}\right) + 11 = 0$.

а) $\frac{15}{x^2 + x + 1} = 2(x^2 + x) + 1$;

Пусть $y = x^2 + x$, тогда:

$$\frac{15}{y+1}=2y+1\mathrm{\mid }\cdot (y+1);$$

$$\frac{15}{y + 1} = 2y + 1 \quad | \cdot (y + 1);$$ $$15=(2y+1)(y+1);$$

$$15 = (2y + 1)(y + 1);$$ $$15=2y^2+2y+y+1;$$

$$15 = 2y^2 + 2y + y + 1;$$ $$2y^2+3y+1-15=0;$$

$$2y^2 + 3y + 1 — 15 = 0;$$ $$2y^2+3y-14=0;$$

$$2y^2 + 3y — 14 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 14 = 9 + 112 = 121$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-3 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$y + 1 \neq 0, \quad \Rightarrow \quad y \neq -1;$$

Значения аргумента $x$:

$x^2 + x = -3.5$;

$$x^2 + x + 3.5 = 0;$$ $$D = 1^2 — 4 \cdot 3.5 = 1 — 14 = -13;$$ $$D < 0, \quad \text{значит корней нет;}$$

$x^2 + x = 2$;

$$x^2+x-2=0;$$

$$x^2 + x — 2 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{тогда:}$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

Ответ: $-2$; $1$.

б) $\frac{\frac{1}{c} + \frac{1}{c + 1}}{\frac{1}{c} + \frac{1}{c — 1}}$;

Пусть $y = x^2 — 3x$, тогда:

$$\frac{1}{y-1}+\frac{1}{y-2}=\frac{5}{y+2}\mathrm{\mid }\cdot (y-1)(y-2)(y+2);$$

$$\frac{1}{y — 1} + \frac{1}{y — 2} = \frac{5}{y + 2} \quad | \cdot (y — 1)(y — 2)(y + 2);$$ $$(y-2)(y+2)+(y-1)(y+2)=5(y-1)(y-2);$$

$$(y — 2)(y + 2) + (y — 1)(y + 2) = 5(y — 1)(y — 2);$$ $$y^2-4+y^2+2y-y-2=5(y^2-2y-y+2);$$

$$y^2 — 4 + y^2 + 2y — y — 2 = 5(y^2 — 2y — y + 2);$$ $$2y^2+y-6=5y^2-15y+10;$$

$$2y^2 + y — 6 = 5y^2 — 15y + 10;$$ $$5y^2-2y^2-15y-y+6-10=0;$$

$$5y^2 — 2y^2 — 15y — y + 6 — 10 = 0;$$ $$3y^2-16y+16=0;$$

$$3y^2 — 16y + 16 = 0;$$ $$D={16}^2-4\cdot 3\cdot 16=256-192=64,\text{тогда:}$$

$$D = 16^2 — 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 — 192 = 64, \quad \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{16 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{16 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$y — 1 \neq 0, \quad \Rightarrow \quad y \neq 1;$$ $$y — 2 \neq 0, \quad \Rightarrow \quad y \neq 2;$$ $$y + 2 \neq 0, \quad \Rightarrow \quad y \neq -2;$$

Значения аргумента $x$:

$x^2 — 3x = \frac{4}{3} \quad | \cdot 3$;

$$3x^2-9x=4;$$

$$3x^2 — 9x = 4;$$ $$3x^2-9x-4=0;$$

$$3x^2 — 9x — 4 = 0;$$ $$D=9^2+4\cdot 3\cdot 4=81+48=129,\text{тогда:}$$

$$D = 9^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 81 + 48 = 129, \quad \text{тогда:}$$ $$x = \frac{9 \pm \sqrt{129}}{2 \cdot 3} = \frac{9 \pm \sqrt{129}}{6};$$

$x^2 — 3x = 4$;

$$x^2-3x-4=0;$$

$$x^2 — 3x — 4 = 0;$$ $$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25,\text{тогда:}$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \quad \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$

Ответ: $-1$; $4$; $\frac{9 \pm \sqrt{129}}{6}$.

в) $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^2 — 5\left(2 + \frac{1}{x}\right) + 11 = 0$;

Пусть $y = 1 + \frac{1}{x}$, тогда:

$$y^2-5(1+y)+11=0;$$

$$y^2 — 5(1 + y) + 11 = 0;$$ $$y^2-5-5y+11=0;$$

$$y^2 — 5 — 5y + 11 = 0;$$ $$y^2-5y+6=0;$$

$$y^2 — 5y + 6 = 0;$$ $$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1,\text{тогда:}$$

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \quad \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$

Значения аргумента $x$:

$1 + \frac{1}{x} = 2 \quad | \cdot x$;

$$x + 1 = 2x;$$ $$x — 2x = -1;$$ $$-x = -1, \quad \Rightarrow \quad x = 1;$$

$1 + \frac{1}{x} = 3 \quad | \cdot x$;

$$x + 1 = 3x;$$ $$x — 3x = -1;$$ $$-2x = -1, \quad \Rightarrow \quad x = 0.5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq 0;$$

Ответ: $0.5$; $1$.

а) $\frac{15}{x^2 + x + 1} = 2(x^2 + x) + 1$;

Пусть $y = x^2 + x$, тогда:

$$\frac{15}{y + 1} = 2y + 1 \quad | \cdot (y + 1);$$

Умножим обе части уравнения на $y + 1$:

$$15 = (2y + 1)(y + 1);$$

Теперь раскрываем скобки:

$$15 = 2y^2 + 2y + y + 1;$$

Упрощаем выражение:

$$15 = 2y^2 + 3y + 1;$$

Переносим все в одну сторону:

$$2y^2 + 3y + 1 — 15 = 0;$$ $$2y^2 + 3y — 14 = 0;$$

Найдем дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121;$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-3 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;$$

Проверим, при каких значениях $y$ выражение имеет смысл. Нам нужно, чтобы $y + 1 \neq 0$, то есть:

$$y \neq -1;$$

Теперь решим для $x$:

$x^2 + x = -3.5$:

$$x^2 + x + 3.5 = 0;$$

Найдем дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3.5 = 1 — 14 = -13;$$

Так как дискриминант отрицателен, корней нет.

$x^2 + x = 2$:

$$x^2 + x — 2 = 0;$$

Найдем дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9;$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

Ответ: $-2$; $1$.

б) $\frac{\frac{1}{c} + \frac{1}{c + 1}}{\frac{1}{c} + \frac{1}{c — 1}}$;

Пусть $y = x^2 — 3x$, тогда:

$$\frac{1}{y — 1} + \frac{1}{y — 2} = \frac{5}{y + 2} \quad | \cdot (y — 1)(y — 2)(y + 2);$$

Теперь раскроем скобки:

$$(y — 2)(y + 2) + (y — 1)(y + 2) = 5(y — 1)(y — 2);$$

Раскрываем скобки:

$$y^2 — 4 + y^2 + 2y — y — 2 = 5(y^2 — 2y — y + 2);$$

Упростим выражение:

$$2y^2 + y — 6 = 5y^2 — 15y + 10;$$

Переносим все в одну сторону:

$$5y^2 — 2y^2 — 15y — y + 6 — 10 = 0;$$ $$3y^2 — 16y + 16 = 0;$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-16)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 — 192 = 64;$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-(-16) — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{16 — 8}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

и

$$y_2 = \frac{-(-16) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{16 + 8}{6} = \frac{24}{6} = 4;$$

Проверим, при каких значениях $y$ выражение имеет смысл:

$y — 1 \neq 0$, отсюда $y \neq 1$;

$y — 2 \neq 0$, отсюда $y \neq 2$;

$y + 2 \neq 0$, отсюда $y \neq -2$;

Теперь решим для $x$:

$x^2 — 3x = \frac{4}{3}$:

$$3x^2 — 9x = 4;$$ $$3x^2 — 9x — 4 = 0;$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-9)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 81 + 48 = 129;$$

Корни:

$$x = \frac{9 \pm \sqrt{129}}{2 \cdot 3} = \frac{9 \pm \sqrt{129}}{6};$$

$x^2 — 3x = 4$:

$$x^2 — 3x — 4 = 0;$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-3)^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25;$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 4;$$

Ответ: $-1$; $4$; $\frac{9 \pm \sqrt{129}}{6}$.

в) $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^2 — 5\left(2 + \frac{1}{x}\right) + 11 = 0$;

Пусть $y = 1 + \frac{1}{x}$, тогда:

$$y^2 — 5(1 + y) + 11 = 0;$$

Раскроем скобки:

$$y^2 — 5 — 5y + 11 = 0;$$

Упрощаем:

$$y^2 — 5y + 6 = 0;$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1;$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$

Решим для $x$:

$1 + \frac{1}{x} = 2$:

$$x + 1 = 2x;$$ $$x — 2x = -1;$$ $$-x = -1, \quad \Rightarrow \quad x = 1;$$

$1 + \frac{1}{x} = 3$:

$$x + 1 = 3x;$$ $$x — 3x = -1;$$ $$-2x = -1, \quad \Rightarrow \quad x = 0.5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq 0;$$

Ответ: $0.5$; $1$.