ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 413 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\frac{x}{x — 4} — \frac{x}{x — 2} = \frac{4}{(x — 4)(x — 2)}$;

б) $\frac{x + 2}{x — 5} — \frac{3x}{(x — 2)(x — 5)} = \frac{2}{x — 2}$;

в) $\frac{x — 1}{x — 3} = \frac{x}{x — 1} + \frac{4}{(x — 1)(x — 3)}$;

г) $\frac{2}{x — 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{13}{x^2 + x — 2}$;

д) $\frac{2}{x — 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{6}{x^2 + x — 2}$;

е) $\frac{2x}{x + 1} + \frac{6}{x^2 — 3x — 4} = \frac{x — 1}{x — 4}$.

а) $\frac{x}{x — 4} — \frac{x}{x — 2} = \frac{4}{(x — 4)(x — 2)} \quad | \cdot (x — 4)(x — 2)$;

$x(x — 2) — x(x — 4) = 4$;

$x^2 — 2x — x^2 + 4x = 4$;

$2x = 4$, отсюда $x = 2$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 4 \neq 0$, отсюда $x \neq 4$;

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$;

Ответ: корней нет.

б) $\frac{x + 2}{x — 5} — \frac{3x}{(x — 2)(x — 5)} = \frac{2}{x — 2} \quad | \cdot (x — 2)(x — 5)$;

$(x + 2)(x — 2) — 3x = 2(x — 5)$;

$x^2 — 2x + 2x — 4 — 3x = 2x — 10$;

$x^2 — 3x — 4 + 10 = 0$;

$x^2 — 5x + 6 = 0$;

$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$;

$x — 5 \neq 0$, отсюда $x \neq 5$;

Ответ: $3$.

в) $\frac{x — 1}{x — 3} = \frac{x}{x — 1} + \frac{4}{(x — 1)(x — 3)} \quad | \cdot (x — 1)(x — 3)$;

$(x — 1)^2 = x(x — 3) + 4$;

$x^2 — 2x + 1 = x^2 — 3x + 4$;

$x^2 — x^2 — 2x + 3x = 4 — 1$;

$x = 3$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$;

$x — 3 \neq 0$, отсюда $x \neq 3$;

Ответ: корней нет.

г) $\frac{2}{x — 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{13}{x^2 + x — 2}$;

Разложим на множители:

$x^2 + x — 2 = x^2 — x + 2x — 2 = x(x — 1) + 2(x — 1) = (x + 2)(x — 1)$;

Получим выражение:

$\frac{2}{x — 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{13}{(x — 1)(x + 2)} \quad | \cdot (x — 1)(x + 2)$;

$2(x + 2) + 5(x — 1) = 13$;

$2x + 4 + 5x — 5 = 13$;

$7x = 14$, отсюда $x = 2$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$;

$x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$;

Ответ: $2$.

д) $\frac{2}{x — 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{6}{x^2 + x — 2}$;

Разложим на множители:

$x^2 + x — 2 = x^2 — x + 2x — 2 = x(x — 1) + 2(x — 1) = (x + 2)(x — 1)$;

Получим выражение:

$\frac{2}{x — 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{6}{(x + 2)(x — 1)} \quad | \cdot (x — 1)(x + 2)$;

$2(x + 2) + 5(x — 1) = 6$;

$2x + 4 + 5x — 5 = 6$;

$7x = 7$, отсюда $x = 1$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$;

$x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$;

Ответ: корней нет.

е) $\frac{2x}{x + 1} + \frac{6}{x^2 — 3x — 4} = \frac{x — 1}{x — 4}$;

Разложим на множители:

$x^2 — 3x — 4 = x^2 + x — 4x — 4 = x(x + 1) — 4(x + 1) = (x + 1)(x — 4)$;

Получим выражение:

$\frac{2x}{x + 1} + \frac{6}{(x + 1)(x — 4)} = \frac{x — 1}{x — 4} \quad | \cdot (x + 1)(x — 4)$;

$2x(x — 4) + 6 = (x — 1)(x + 1)$;

$2x^2 — 8x + 6 = x^2 — 1$;

$2x^2 — x^2 — 8x + 6 + 1 = 0$;

$x^2 — 8x + 7 = 0$;

$D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36$, тогда:

$x_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7$;

Выражение имеет смысл при:

$x + 1 \neq 0$, отсюда $x \neq -1$;

$x — 4 \neq 0$, отсюда $x \neq 4$;

Ответ: $1$; $7$.

а) $\frac{x}{x — 4} — \frac{x}{x — 2} = \frac{4}{(x — 4)(x — 2)} \quad | \cdot (x — 4)(x — 2)$;

Умножим обе части уравнения на $(x — 4)(x — 2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$(x — 4)(x — 2) \cdot \frac{x}{x — 4} — (x — 4)(x — 2) \cdot \frac{x}{x — 2} = (x — 4)(x — 2) \cdot \frac{4}{(x — 4)(x — 2)}$$

После сокращения получаем:

$$x(x — 2) — x(x — 4) = 4$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — 2x — x^2 + 4x = 4$$

Упростим:

$$2x = 4$$

Разделим обе стороны на 2:

$$x = 2$$

Теперь проверим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл. Функция не определена, если знаменатели равны нулю. Для этого рассмотрим два знаменателя:

$$x — 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 4$$ $$x — 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 2$$

Ответ: корней нет.

б) $\frac{x + 2}{x — 5} — \frac{3x}{(x — 2)(x — 5)} = \frac{2}{x — 2} \quad | \cdot (x — 2)(x — 5)$;

Умножим обе части уравнения на $(x — 2)(x — 5)$:

$$(x — 2)(x — 5) \cdot \frac{x + 2}{x — 5} — (x — 2)(x — 5) \cdot \frac{3x}{(x — 2)(x — 5)} = (x — 2)(x — 5) \cdot \frac{2}{x — 2}$$

После сокращения получаем:

$$(x + 2)(x — 2) — 3x = 2(x — 5)$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — 2x + 2x — 4 — 3x = 2x — 10$$

Упростим:

$$x^2 — 3x — 4 + 10 = 0$$ $$x^2 — 5x + 6 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Проверим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл. Функция не определена, если знаменатели равны нулю. Рассмотрим два знаменателя:

$$x — 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 2$$ $$x — 5 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 5$$

Ответ: $3$.

в) $\frac{x — 1}{x — 3} = \frac{x}{x — 1} + \frac{4}{(x — 1)(x — 3)} \quad | \cdot (x — 1)(x — 3)$;

Умножим обе части уравнения на $(x — 1)(x — 3)$:

$$(x — 1)(x — 3) \cdot \frac{x — 1}{x — 3} = (x — 1)(x — 3) \cdot \frac{x}{x — 1} + (x — 1)(x — 3) \cdot \frac{4}{(x — 1)(x — 3)}$$

После сокращения получаем:

$$(x — 1)^2 = x(x — 3) + 4$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — 2x + 1 = x^2 — 3x + 4$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — x^2 — 2x + 3x = 4 — 1$$

Упростим:

$$x = 3$$

Проверим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл. Функция не определена, если знаменатели равны нулю. Рассмотрим два знаменателя:

$$x — 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 1$$ $$x — 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3$$

Ответ: корней нет.

г) $\frac{2}{x — 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{13}{x^2 + x — 2}$;

Разложим на множители:

$$x^2 + x — 2 = x^2 — x + 2x — 2 = x(x — 1) + 2(x — 1) = (x + 2)(x — 1)$$

Получаем выражение:

$$\frac{2}{x — 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{13}{(x — 1)(x + 2)} \quad | \cdot (x — 1)(x + 2)$$

Умножаем обе части на $(x — 1)(x + 2)$:

$$2(x + 2) + 5(x — 1) = 13$$

Раскроем скобки:

$$2x + 4 + 5x — 5 = 13$$

Упростим:

$$7x = 14$$

Разделим обе стороны на 7:

$$x = 2$$

Проверим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл. Функция не определена, если знаменатели равны нулю. Рассмотрим два знаменателя:

$$x — 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 1$$ $$x + 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2$$

Ответ: $2$.

д) $\frac{2}{x — 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{6}{x^2 + x — 2}$;

Разложим на множители:

$$x^2 + x — 2 = x^2 — x + 2x — 2 = x(x — 1) + 2(x — 1) = (x + 2)(x — 1)$$

Получаем выражение:

$$\frac{2}{x — 1} + \frac{5}{x + 2} = \frac{6}{(x + 2)(x — 1)} \quad | \cdot (x — 1)(x + 2)$$

Умножаем обе части на $(x — 1)(x + 2)$:

$$2(x + 2) + 5(x — 1) = 6$$

Раскроем скобки:

$$2x + 4 + 5x — 5 = 6$$

Упростим:

$$7x = 7$$

Разделим обе стороны на 7:

$$x = 1$$

Проверим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл. Функция не определена, если знаменатели равны нулю. Рассмотрим два знаменателя:

$$x — 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 1$$ $$x + 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2$$

Ответ: корней нет.

е) $\frac{2x}{x + 1} + \frac{6}{x^2 — 3x — 4} = \frac{x — 1}{x — 4}$;

Разложим на множители:

$$x^2 — 3x — 4 = x^2 + x — 4x — 4 = x(x + 1) — 4(x + 1) = (x + 1)(x — 4)$$

Получаем выражение:

$$\frac{2x}{x + 1} + \frac{6}{(x + 1)(x — 4)} = \frac{x — 1}{x — 4} \quad | \cdot (x + 1)(x — 4)$$

Умножаем обе части на $(x + 1)(x — 4)$:

$$2x(x — 4) + 6 = (x — 1)(x + 1)$$

Раскроем скобки:

$$2x^2 — 8x + 6 = x^2 — 1$$

Переносим все на одну сторону:

$$2x^2 — x^2 — 8x + 6 + 1 = 0$$

Упростим:

$$x^2 — 8x + 7 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7$$

Проверим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл. Функция не определена, если знаменатели равны нулю. Рассмотрим два знаменателя:

$$x + 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -1$$ $$x — 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 4$$

Ответ: $1$; $7$.